(ориентация кривой Г предполагается положительной относительно области D _Г)

  Пусть функция f моногенна в области D. Фиксируем произвольную точку z области D и обозначим через g окружность с центром в точке z и радиусом r > 0, принадлежащую, вместе со всем кругом: К: Iz - zI < r, области D. Тогда

 

  Представим ядро Коши 1/(t—z) для tÎg и zÎK в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии:

  поэтому ряд сходится равномерно относительно tÎg при любом фиксированном zÎK, интегрируя этот ряд — после умножения на

  — почленно, получают разложение функции f в степенной ряд

  сходящийся в круге K: I z - z I < r.

  Уточним теперь понятие аналитичности. Пусть f — функция, определённая в области D; она называется аналитической (или голоморфной) в точке z области , если существует окрестность этой точки (круг с центром в z), в которой функция f представляется степенным рядом:

f (z) = a + a₁(z - z) + a₂(z - z)² +. . . . + a_n(z - z)ⁿ+ . . .

  Если это свойство имеет место в каждой точке z области D, то функция f называется аналитической (голоморфной) в области D.

  Выше было показано, что функция f, моногенная в области D, аналитична в этой области. В отдельной точке это утверждение неверно; например, функция f(z) = êzê² = z

моногенна в точке z = 0, но нигде не аналитична. С другой стороны, функция f , аналитическая в точке z области D, моногенна в этой точке. Более того, сумма сходящегося степенного ряда имеет производные всех порядков (бесконечно дифференцируема) по комплексному переменному z; коэффициенты ряда могут быть выражены через производные функции f в точке z по формулам: a_n=f⁽ⁿ⁾(z)/n!. Степенной ряд, записанный в форме

  называется рядом Тейлора функции f в точке z. Тем самым, аналитичность функции f в области D означает, что в каждой точке области D функция f бесконечно дифференцируема и её ряд Тейлора сходится к ней в некоторой окрестности этой точки.

  Следовательно, понятия моногенности и аналитичности функции в области тождественны и каждое из следующих свойств функции f в области D — моногенность, дифференцируемость в смысле комплексного анализа, дифференцируемость в смысле действительного анализа вместе с выполнением уравнений Коши — Римана — может служить определением аналитичности f в этой области.

  Важнейшее свойство А. ф. выражается следующей теоремой единственности: две функции, аналитические в области D и совпадающие на каком-либо множестве, имеющем предельную точку в D, совпадают и во всей области D (тождественны). В частности, аналитическая в области функция, отличная от тождественного нуля, может иметь в области лишь изолированные нули.

  Если Е — произвольное множество (в комплексной плоскости и, в частности, на действительной прямой), то функция f (z), zÎE, называется аналитической на множестве E, если каждая точка этого множества имеет окрестность, на пересечении которой с множеством Е функция f представляется сходящимся степенным рядом; это означает в действительности, что f аналитична на некотором открытом множестве, содержащем Е (точнее, существует открытое множество, содержащее Е, и аналитическая на нём функция, f совпадающая с f на множестве E). Для открытых множеств понятие аналитичности совпадает с понятием дифференцируемости по множеству (моногенности). Однако в общем случае это не так; в частности, на действительной прямой существуют функции, не только имеющие производную, но и бесконечно дифференцируемые в каждой точке, которые не являются аналитическими ни в одной точке этой прямой. Например,

  С другой стороны, для справедливости теоремы единственности А. ф. существенно свойство связности множества E. Поэтому А. ф. рассматриваются обычно в областях, т.е. на открытых и связных множествах.

  Важную роль в изучении А. ф. играют точки, в которых нарушается свойство аналитичности — т. н. особые точки А. ф. Рассмотрим здесь изолированные особые точки (однозначных) А. ф. Пусть f — А. ф. в области вида 0 < |z - z| < r; в этой области f разлагается в ряд Лорана:

содержащий, вообще говоря, не только положительные, но и отрицательные степени z - z. Если в этом разложении члены с отрицательными степенями отсутствуют (a_n = 0 для n = -1, -2,...), то z называется правильной точкой f. В правильной точке существует и конечен

полагая f(z) = a, получают функцию, аналитическую во всём круге ïz - zï < r.

  Если ряд Лорана функции f содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями z - z:

  то точка z называется полюсом функции f (порядка m); полюс z характеризуется тем, что

  В случае, если ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней z — z, то z называется существенно особой точкой; в таких точках не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции f. Если z — изолированная особая точка функции f, то коэффициент a_-1 в её разложении в ряд Лорана называется вычетом функции f в точке z.

  Функции, представимые в виде отношения двух функций, аналитических в области D, называется мероморфными в области D. Мероморфная в области функция аналитична в этой области за исключением, быть может, конечного или счётного множества полюсов; в полюсах значения мероморфной функции считаются равными бесконечности. Если допустить такие значения, то мероморфные в области D функции могут быть определены как функции, которые в окрестности каждой точки z области D представимы рядом по степеням z — z, содержащим конечное (зависящее от z) число членов с отрицательными степенями z — z.

  Часто аналитическими в области D называют как аналитические (голоморфные), так и мероморфные в этой области функции. В этом случае голоморфные функции называют также регулярными аналитическими или просто регулярными. Простейший класс А. ф. составляют функции, аналитические во всей плоскости; такие функции называют целыми. Целые функции представляются рядами вида