Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но опять без пересечения (см. Равносоставленные и равновеликие фигуры). Поэтому можно, исходя из формулы площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Например, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, нетрудно доказать, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции произведению полусуммы оснований на высоту.

Формулу площади параллелограмма можно обосновать и с помощью принципа Кавальери (см. Кавальери принцип). Согласно ему площади двух фигур равны, если равны между собой длины любых двух сечений, проведенных в той и другой фигуре параллельно некоторой прямой и на одинаковом от нее расстоянии.

Иначе можно вывести и формулу площади трапеции, разбивая ее на треугольники. Путем разбиения на треугольники нетрудно определить площадь любого многоугольника, поэтому известны точные формулы площади для правильных многоугольников. Математики античности и средневековья вычисляли площадь круга, рассматривая ее как предел площадей вписанных в этот круг и описанных около него правильных многоугольников, число сторон у которых удваивается неограниченно.

Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток - с недостатком. С уменьшением размеров плиток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее.

Этот прием применяется и на практике, правда не строительной. Фигуру, площадь которой требуется измерить, вычерчивают на миллиметровой бумаге и подсчитывают сначала число укладывающихся в границы фигуры сантиметровых квадратиков, потом миллиметровых... Если бы существовала миллиметровая бумага с делениями, кратными сколь угодно высокой степени десятки, такая процедура, продолженная неограниченно долго, приводила бы к точному значению площади. Методы нахождения площадей произвольных фигур дает интегральное исчисление.

Существуют и механические приборы для вычисления площадей плоских фигур - так называемые планиметры.

ПОЛЕ

Поле - множество элементов, для которых определены арифметические операции.

Если учитель предложит разложить на множители многочлен x² - 3, то ученик 6-го класса ответит, что этот многочлен на множители неразложим. Ученик же 7-го класса легко справится с этой задачей, записав разложение в виде x² - 3 = (x - √3)(x + √3). С разложением на множители многочлена x² + 4 справятся лишь немногие школьники старших классов, которые знают комплексные числа: x² + 4 = (x - 2i)·(x + 2i) А если пользоваться лишь действительными числами, то такое разложение осуществить невозможно.

Таким образом, решение вопроса, можно ли разложить данный многочлен на множители, зависит от того, какими числами разрешается пользоваться: только рациональными, или всеми действительными, или, наконец, комплексными числами. При этом, выполняя различные операции над многочленами, их коэффициенты приходится складывать и вычитать, умножать и делить друг на друга. Поэтому в алгебре приходится пользоваться не произвольными множествами коэффициентов, а лишь множествами чисел, обладающих следующим важным свойством: вместе с двумя числами a и b этим множествам принадлежат сумма, разность, произведение и частное чисел a и b (разумеется, кроме случая, когда приходится делить на нуль).

Поскольку в таких множествах операции выполняются без ограничений, т.е. в них можно «перемещаться» без препон, как по ровной местности, условились называть числовые множества с описанным выше свойством неограниченной выполнимости арифметических операций числовыми полями. Полями являются множество Q всех рациональных чисел, множество R всех действительных чисел и множество C всех комплексных чисел (обозначения происходят от французских слов quotient - «отношение», reel - «действительный» и complexe - «комплексный»).

Но этими тремя полями не исчерпывается все многообразие числовых полей. Например, числа вида a + b√2, где a и b рациональны, образуют поле, равно как и числа вида

, где коэффициенты a,b,c рациональны. Проверить, что сумма, разность и произведение чисел такого вида имеют аналогичный вид, совсем несложно. Несколько сложнее доказать, что и операция деления приводит к подобным числам. Про поле чисел вида a + b√2 говорят, что оно получено присоединением числа √2 к полю Q, а поле чисел вида  получается из Q присоединением числа  (число  равно ).

Введение понятия числового поля позволило уточнить многие утверждения алгебры многочленов, глубже изучить свойства алгебраических уравнений - эти свойства зависят от того, над какими полями рассматривают эти многочлены и уравнения, т.е. какие коэффициенты считаются допустимыми. Но математики, введя то или иное полезное понятие, стараются выяснить, от каких его свойств зависят все остальные свойства, т.е. какими аксиомами определяется это понятие. Общими свойствами всех числовых полей являются следующие:

1) для любых элементов a и b поля F определены их сумма a+b и произведение ab;

2) в поле существуют нуль (0) и единица (1);

3) для любого числа a из поля F в F есть противоположное ему число -a, а если a ≠ 0, то и - обратное ему число 1/a;

4) выполняются тождества:

a + b = b + a,

(a + b) + c = a + (b + c),

a + 0 = a,

a + (-a) = 0,

ab = ba

(ab)c = a(bc),

a·1 = a,

a· 1/a = 1,

a(b + c) = ab +ac,

выражающие коммутативность и ассоциативность операций сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения и свойства нуля, единицы, противоположного и обратного элементов. Другие равенства, например такие, как (a+b)²=a²+2ab+b² или (a+b)(a-b)=a²-b², можно уже вывести из указанных основных тождеств, следовательно, они справедливы для любого поля.

Оказалось, что операции сложения и умножения с указанными свойствами можно, определять не только для чисел, но и для иных объектов.

Очень интересный вид полей открыл французский математик Э. Галуа. Эти поля состоят лишь из конечного числа элементов. Простейшими примерами таких полей Галуа являются поля вычетов по простому модулю (см. Сравнения).

Многочисленные тождества, изучаемые в курсе алгебры средней школы и наполняющие учебники и задачники по алгебре, являются следствиями основных тождеств, входящих в определение поля, и потому эти тождества верны для любых полей.

Для полей можно строить не только алгебру, но и арифметику. Для этого нужно сначала определить, какие элементы поля называются целыми. Целыми алгебраическими числами называют числа, которые удовлетворяют уравнению вида xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n = 0, где коэффициенты a₁,...,a_n - обычные целые числа. Например,

 - целое алгебраическое число, так как оно является корнем уравнения x³ - 5 = 0.