Сумма, разность и произведение целых алгебраических чисел тоже являются целыми алгебраическими числами, а частное, вообще говоря, целым уже не является. Любое множество чисел, содержащее вместе с двумя числами их сумму, разность и произведение, называют числовым кольцом. Примерами числовых колец могут служить множества чисел вида a + b√2 или
Арифметика в числовых кольцах имеет особенности, отличающие ее от обычной арифметики целых чисел. Например, в числовом кольце всех целых алгебраических чисел нет ни одного простого числа - каждое число α можно разложить на множители: α = √α·√α.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
Последовательность - одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент xn некоторого множества. Последовательность записывается в виде x1,x2,...,xn, или кратко (xn). Элементы x1,x2,...,xn называются членами последовательности, x1 - первым, x2 - вторым, xn - общим (n-м) членом последовательности.
Наиболее часто рассматривают числовые последовательности, т.е. последовательности, члены которых - числа. Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей n-й член последовательности xn через его номер n. Например, если
Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например:
Примеры числовых последовательностей - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.
Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера n (то, что n неограниченно возрастает, записывается в виде n → ∞ и читается: «n стремится к бесконечности»).
Рассмотрим последовательность с общим членом xn = 1/n: x1 = 1, x2 = 1/2, x3 = 1/3, …, x100 = 1/100, …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше n, тем меньше xn отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании n стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности.
Другой пример: xn = (-1)n /n - определяет последовательность
x1 = -1, x2 = 1/2, x3 = -1/3, x4 = 1/4, ….
Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела.
Рассмотрим еще пример: xn = (n-1)/(n+1). Если представить xn в виде
то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице.
Дадим определение предела последовательности. Число a называется пределом последовательности (xn), если для любого положительного числа ε можно указать такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство |xn - a| < ε.
Если a есть предел последовательности (xn), то пишут
Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число a в интервал (a - ε, a + ε) (рис. 1). Число a есть предел последовательности (xn), если независимо от малости интервала (a - ε, a + ε) все члены последовательности с номерами, большими некоторого N, будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала (a - ε, a + ε) может находиться лишь конечное число членов последовательности.
Рис. 1
Для рассмотренной последовательности xn = (-1)n /nв ε-окрестность точки нуль при ε = 1/10 попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, а при ε = 1/100 - все члены последовательности, кроме первых ста.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся. Вот пример расходящейся последовательности: xn = (-1)n. Ее члены попеременно равны +1 и -1 и не стремятся ни к какому пределу.
Если последовательность сходится, то она ограничена, т.е. существуют такие числа c и d, что все члены последовательности удовлетворяют условию c ≤ xn ≤ d. Отсюда следует, что все неограниченные последовательности расходящиеся. Таковы последовательности:
«Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики». Ж. Фурье
Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Понятие бесконечно малой может быть положено в основу общего определения предела последовательности, так как предел последовательности (xn) равен a тогда, и только тогда, когда xn представимо в виде суммы xn = a + αn, где αn - бесконечно малая.
Рассмотренные последовательности (1/n),(-1)n /n являются бесконечно малыми. Последовательность (n-1)/(n+1), как следует из (2), отличается от 1 на бесконечно малую 2/(n+1), и потому предел этой последовательности равен 1.
Большое значение в математическом анализе имеет также понятие бесконечно большой последовательности. Последовательность (xn) называется бесконечно большой, если последовательность (1/xn) бесконечно малая. Бесконечно большую последовательность (xn) записывают в виде xn → ∞, или
Подчеркнем, что бесконечно большая последовательность не имеет предела.
Рассмотрим последовательности (xn) и (yn). Можно определить последовательности с общими членами xn + yn, xn - yn, xn yn и (если yn ≠ 0) xn/yn. Справедлива следующая теорема, которую часто называют теоремой об арифметических действиях с пределами: если последовательности (xn) и (yn) сходящиеся, то сходятся также последовательности (xn + yn), (xn - yn), (xnyn), (xn/yn) и имеют место равенства: