Рис. 3

Замечательно, что для приведенной выше теоремы справедлива и обратная теорема: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены. Эту теорему, доказанную в первой половине XIX в. венгерским математиком Ф. Бойяи и немецким офицером и любителем математики П. Гервином, можно пояснить так: если имеется пряник в форме многоугольника и многоугольная коробка совершенно другой формы, но той же площади, то можно так разрезать пряник на конечное число кусков, что их удастся вложить в эту коробку.

В связи с теоремой Бойяи-Гервина возникает вопрос о наложении дополнительных ограничений на число или расположение частей, из которых составляются равновеликие многоугольники. Например, представим себе плоскость в виде листа цветной бумаги, у которого одна сторона красная, а другая - белая. Если из такой бумаги вырезаны два равновеликих красных многоугольника, то возникает вопрос, можно ли один из них разрезать на части, из которых удастся сложить красный многоугольник, равный второму. Части разрешается перекладывать, не переворачивая их на белую, изнаночную сторону. Ответ на этот вопрос также утвердителен.

Вариант этой задачи был предложен на одной из московских математических олимпиад в следующей шуточной форме. Чудак-кондитер испек торт (а у торта, в отличие от пряника, верхняя сторона покрыта кремом) в форме разностороннего треугольника. Сделали и коробку к торту, но по недосмотру склеили ее неверно, так что торт и коробка оказались симметричными друг другу (рис. 4). Нужно (по возможности экономно) разрезать торт на части, которые удалось бы уложить в эту коробку. Разумеется, части торта нельзя укладывать кремом вниз.

Рис. 4

Интересный результат, связанный с наложением дополнительных требований на расположение частей, был получен в 1952 г. швейцарскими математиками Г. Хадвигером и П. Глюром: равносоставленность двух равновеликих многоугольников может быть установлена при помощи таких разбиений, в которых соответствующие части имеют параллельные стороны. На первый взгляд это кажется даже неправдоподобным: трудно поверить, что два равных треугольника, повернутые друг относительно друга на произвольный угол (рис. 5), всегда можно разбить на равные части с соответственно параллельными сторонами. Тем не менее существует такое разбиение этих треугольников, что части, на которые разбит один треугольник, получаются из соответствующих частей второго треугольника параллельными переносами или центральными симметриями. То же справедливо для любых двух равновеликих многоугольников. Однако одними только параллельными переносами частей обойтись не удается. Например, как бы мы ни разрезали параллелограмм на части, невозможно параллельными переносами составить из этих частей треугольник.

Рис. 5

Интерес к этим вопросам был пробужден знаменитым докладом «Математические проблемы», который был прочитан выдающимся математиком Д. Гильбертом на Втором Международном конгрессе математиков, состоявшемся на рубеже XIX и XX вв. Из двадцати трех поставленных Гильбертом проблем большинство относится к новым, быстро развивающимся разделам математики. И лишь одна проблема – третья - связана с вопросами школьной геометрии. Гильберт обращает внимание на то, что при вычислении объема треугольной пирамиды еще со времен Евклида используется довольно сложный предельный переход (см. Предел) (а в настоящее время - интегрирование), тогда как при вычислении площади треугольника мы обходимся без аналогичного предельного перехода. Существо проблемы Гильберта состоит в том, чтобы обосновать использование этого «лишнего» (по сравнению с планиметрией) предельного перехода, т.е. доказать, что без него теория объемов многогранников не может быть построена. В 1900 г. М. Ден решил третью проблему Гильберта, доказав, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены. Гильберт предвидел, что этот вопрос может привести к созданию математически интересной и богатой результатами теории равносоставленности многоугольников и многогранников. Предвидение Гильберта блестяще оправдалось; красивое здание современной теории равносоставленности является достойным памятником ученому.

РАДИКАЛ

Радикалом (или знаком корня) называют знак

, применяемый для обозначения операции извлечения корня n-й степени из некоторого числа; корень n-й степени из числа a обозначается . При n = 2 показатель корня опускают и пишут  вместо . Корень второй степени обычно называют квадратным корнем, а корень третьей степени - кубическим корнем.

При извлечении корня четной степени из неотрицательного (действительного) числа a запись

 обозначает арифметический корень из числа a (т.е. такое неотрицательное число b, что bⁿ = a). При извлечении корня из комплексного числа знак  применяют для обозначения любого из n корней n-й степени из числа z или совокупности всех n корней.

Название «радикал» происходит от латинских слов radix - «корень», radicalis - «коренной». Начиная с XIII в. европейские математики обозначали корень этим словом, или, сокращенно, г. В 1525 г. в книге К. Рудольфа «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс» появилось обозначение V для знака квадратного корня, корень кубический обозначался там как VVV. В 1626 г. голландский математик А. Жирар ввел обозначение

,  и т.д., которое стало быстро вытеснять знак r; при этом над подкоренным выражением ставилась горизонтальная черта. Тогда писали  вместо современного . Современное обозначение корня впервые появилось в книге Р. Декарта «Геометрия», изданной в 1637 г.

Приближенное значение квадратных корней из целых чисел умели находить еще в Древнем Вавилоне около 4 тыс. лет назад. При этом вавилонские ученые пользовались следующим методом: число a представляли в виде суммы b²+c, где c мало по сравнению с b², и полагали √a = b + c/2b. Например:

(пример взят из вавилонской клинописной таблички). Для сравнения укажем более точное значение корня √(1700) = 41,23105. Заметим, что такой способ приближенного извлечения квадратного корня часто называют вавилонским методом извлечения квадратного корня.

РАЗВЕРТКА

Допустим, что многогранник - многогранную поверхность - после проведения разрезов по нескольким ребрам удается развернуть на плоскость. В результате получается развертка многогранника. Развертка представляет собой плоский многоугольник, составленный из меньших многоугольников - граней исходного многогранника. Так, на рис. 1 изображены развертки всех пяти видов правильных многогранников. По ним легко восстановить, склеить соответствующие многогранники; обычно на развертках указывают, какие именно пары сторон развертки нужно склеивать для получения исходного многогранника.