Рис. 1

Один и тот же многогранник может иметь несколько разных разверток. Например, правильный тетраэдр имеет и треугольную развертку, которая даже более удобна для склейки тетраэдра: достаточно согнуть три угловых треугольника (рис. 2). Аналогичная развертка произвольного тетраэдра представляет собой в общем случае шестиугольник с попарно равными соседними сторонами (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Развертки (или части разверток) применяют при изготовлении моделей различных многогранников. Пример-склейка «треугольных» (правильнее говорить «тетраэдрических») молочных пакетов. Эти пакеты не являются правильными тетраэдрами: правильные тетраэдры плохо укладываются в молочные корзины. Молочные пакеты представляют собой равногранные тетраэдры с четырьмя ребрами примерно по 17 см и двумя ребрами по 13 см. Внимательно рассмотрев пакет, вы увидите, что он склеен из... прямоугольника, получающеюся при разрезании тетраэдра по двум меньшим ребрам и большей высоте одной из граней. Легко представить обратную процедуру: как показано на рис. 4, сначала прямоугольник склеивается в цилиндр (точнее, в боковую поверхность цилиндра), а потом вдоль взаимно перпендикулярных диаметров оснований в тетраэдрический пакет. Конечно, технологически это осуществить проще, чем склейку пакета из треугольника, - не потребуется даже никаких клапанов для склейки.

Рис. 4

 «Он же, не смутясь нимало.

 Развернул пазы и петли.

 Стал вертеть их так и эдак,

 Пока все вдруг не предстало

 В виде плоскостей, квадратов,

 Точно сложная фигура

 Из Эвклидова трактата».

    Л. Кэррол

Развертки помогают решать задачи на отыскание кратчайшего пути (по поверхности фигуры) из одной точки в другую. Например, чтобы из всех путей вида AKB, ведущих по поверхности куба из вершины A в противолежащую вершину B (рис. 5,а), выбрать кратчайший, достаточно развернуть две соседние грани и соединить точки A и B отрезком прямой (рис. 5,б). Кратчайший путь будет проходить через середину M ребра CD (всего таких путей будет 6 - по числу разделяющих точки A и B ребер куба). Обратите внимание: точно так же решается и задача о кратчайшем «перевале» через ребро любого двугранного угла (рис. 6).

Рис. 5

Рис. 6

Рассматривая молочный пакет, мы видели, что цилиндрическую поверхность тоже можно развернуть на плоскость. Это верно и для поверхности конуса: разрезав ее по окружности основания и по одной из образующих, после разворачивания мы получим (касающиеся друг друга) круг и круговой сектор (рис. 7,а,б). Если кривая на поверхности не пересекает линии разреза, то ее длина при разворачивании не меняется. Поэтому и в случае цилиндра и конуса развертку можно применить для отыскания кратчайшего пути из точки A в точку B, идущего по боковой поверхности конуса или цилиндра. Конечно, при этом следует позаботиться о выборе линии, по которой делать разрез, иначе можно получить не самый короткий путь, а лишь более короткий по сравнению с ближайшими путями (пунктир на рис. 7, а).

Рис. 7

Развертки цилиндра и конуса можно использовать и для вычисления площадей их боковых поверхностей ( 2πRH - для цилиндра и πRl - для конуса). Однако этот метод определения площадей далек от универсальности, ибо большинство искривленных поверхностей нельзя развернуть на плоскость с сохранением длин и площадей. С этим, в частности, связаны трудности при изготовлении покрышек для мячей.

РАССТОЯНИЕ

Расстоянием между двумя точками A и B плоскости (или пространства) называется длина отрезка AB; если выбрана единица измерения, то расстояние будет неотрицательным числом, которое обозначается так: ρ(A,B), или |AB|, или просто AB. По определению ρ(A,A) = 0.

В разнообразных математических ситуациях, да и в повседневной жизни мы часто оцениваем удаленность друг от друга двух объектов с помощью «расстояний», отличных от обычного. Скажем, расстоянием между точками A и B на глобусе естественно считать длину меньшей из двух дуг AB окружности большого круга (проходящего через точки A и B). Расстояние между A и B также характеризует минимальное время, за которое можно добраться из пункта A в пункт B. Если измерить расстояние между Новосибирском и Душанбе по глобусу (или посмотреть в справочник Аэрофлота), получится примерно 2100 км. В железнодорожном справочнике указано другое число: 3895 км. В этом, конечно, нет ничего удивительного: поезда не могут ездить напрямик, как летают самолеты, потому железнодорожники и летчики оценивают расстояние по-разному.

Для построения теории расстояния, применимой во многих разделах математики, оказывается достаточно выделить очень небольшое число основных свойств расстояния.

Пусть каждым двум элементам a, b множества X по некоторому правилу сопоставлено число ρ(a,b) ≥ 0, при этом выполнены три условия:

1) ρ(a,b) = 0 тогда и только тогда, когда a=b;

2) ρ(a,b) = ρ(b,a) для любых двух a и b;

3) ρ(a,c) ≤ ρ(a,b) + ρ(b,c) для любых трех элементов a,b,c, из X.

Множество X, снабженное такой функцией ρ, называется метрическим пространством. Свойство (3) для обычного расстояния на плоскости выражает тот факт, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон; это свойство называется неравенством треугольника. В конкретных примерах именно оно не очевидно и нуждается в проверке. Неравенство треугольника на сфере сводится к такой теореме: любой плоский угол COA трехгранного угла ABCO меньше суммы двух других плоских углов AOB и BOC (рис. 1).

Рис. 1

Отправляясь в путешествие, мы часто вынуждены иметь дело с таким «расстоянием»: D(A,B) - это наименьшая стоимость проезда из пункта A в пункт B. Неравенство треугольника здесь очевидно: чтобы добраться из A в C, мы можем сначала доехать от A до B, а потом - от B до C (заплатив за это D(A,B) + D(B,C) рублей); поэтому стоимость D(A,C) самого дешевого маршрута из A в C не больше суммы D(A,B) + D(B,C). Можно ввести и другое «расстояние» между A и B. В любом конечном графе расстоянием между двумя вершинами можно считать наименьшее число ребер в пути, соединяющих эти вершины.

Расстояние между двумя точками a и b числовой прямой R равно |a - b|. В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости расстояние между двумя точками A(x₁,y₁) и B(x₂,y₂) выражается с помощью теоремы Пифагора по формуле:

Аналогичная формула в пространстве для расстояния между точками A(x₁,y₁,z₁) и B(x₂,y₂,z₂):

На одном и том же множестве X можно многими разными способами ввести расстояние. Например, на плоскости за расстояние между точками A(x₁,y₁) и B(x₂,y₂) можно принять ρ(A,B) = |x₁ - x₂| +|y₁ - y₂| или ρ(A,B) = max{|x₁ - x₂| ,|y₁ - y₂| } - наибольшее из двух чисел |x₁ - x₂|, |y₁ - y₂|.