У древних вавилонян система счисления вначале была непозиционной, но впоследствии они научились использовать информацию, заключенную в порядке записи знаков, и перешли к позиционной системе счисления. При этом в отличие от используемой нами системы счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при перемещении на одно место (такую систему называют десятичной), у вавилонян при перемещении знака происходило изменение значения числа в 60 раз (такую систему счисления называют шестидесятеричной). Долгое время в вавилонской системе счета не было нуля, т.е. знака для пропущенного разряда. Это не создавало неудобств, так как порядок числа был обычно известен. Но когда стали составлять обширные математические и астрономические таблицы, возникла необходимость в таком знаке. Он встречается и в поздних клинописных записях, и в таблицах, составленных в Александрии в начале нашей эры. Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с).

Хотя вавилонские ученые пользовались шестидесятеричной системой счисления, на практике все чаще использовали сложный гибрид этой системы с десятичной. А индийские математики, много заимствовавшие у вавилонских ученых, применяли чисто десятичную систему счета. Сочетав с ней вавилонский метод обозначения чисел, индийцы создали в VI в. способ записи, использующий лишь 9 цифр. Вместо нуля оставляли пустое место, а позднее стали ставить точку или маленький кружок. В IX в. появился особый знак для нуля. Долгое время понятие нуля казалось непонятным и абстрактным (зачем нужен знак для того, чего нет?), но в конце концов преимущества нового способа записи чисел стали ясны всем. Были выработаны правила выполнения арифметических операций над числами в десятичной системе счисления, не требовавшие использования абака, и этот способ записи чисел распространился по всему миру.

За основание системы счисления можно принять не только числа 10 или 60, но и любое натуральное число p, большее 1. Для записи чисел в p-ичной системе счисления нужно p цифр. Число, записанное цифрами a_k,a_k-1,...,a₀ в p-ичной системе, равно a_kp^k + a_k-1p^k-1 + ... + a₀. Например: 326₇ = 3·7² + 2·7 + 6 (индекс 7 означает, что число записано в семеричной системе). Если число записано в десятичной системе счисления, а его надо перевести в p-ичную систему, то делят это число на p с остатком. Потом делят на p с остатком неполное частное и т.д. до тех пор, пока не получится неполное частное, равное нулю. Выписывая подряд остатки, начиная с последнего и кончая первым, получаем искомую p-ичную запись нашего числа. Например, из того, что 29 = 4·6+5, а 4 = 0·6+4, вытекает, что 29 = 45₆.

Операции над натуральными числами в p-ичной системе счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения. Особенно простой вид эти таблицы имеют для двоичной системы счисления.

Еще в XVII в. немецкий математик Г. В. Лейбниц предложил перейти на двоичную систему счисления, но этому помешала не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления запись чисел слишком длинна. Например: 106 = 1101010₂. Однако в нашем веке, когда были созданы ЭВМ, оказалось, что для выполнения арифметических операций на этих машинах самой удобной является именно двоичная система счисления (см. Языки программирования).

СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

В Древней Греции число называли совершенным, если оно равнялось сумме всех своих делителей (исключая само число). Например:

6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Указанные три числа - первые совершенные числа. Они, как и все остальные известные совершенные числа, четны. Еще древнегреческий математик Евклид в III в. до н.э. указывал, что четные совершенные числа могут быть получены в виде 2^p-1(2^p-1)  в том случае, если число 2^p-1 простое. Простые числа вида 2^p-1 стали называть простыми числами Мерсенна, по имени французского монаха М. Мерсенна (1588-1648), много занимавшегося совершенными числами. Л. Эйлер показал, что этими числами исчерпываются все четные совершенные числа.

К настоящему времени числа вида 2^p-1 проверены на простоту для всех p до 50000. В результате обнаружено более 30 простых чисел Мерсенна, самое большое из которых получается при p=132049. Это число с 39751 десятичным знаком. Соответствующее ему совершенное число 2⁸⁶²⁴²(2⁸⁶²⁴²-1) имеет 79502 десятичных знака. Итак, известно довольно много четных совершенных чисел, но не известно ни одного нечетного совершенного числа, хотя в поисках такого числа проверены все числа до 10⁵⁰. Также неизвестно, конечно ли количество совершенных чисел.

СОФИЗМЫ

Софизм - доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V вв. до н.э., достигших большого искусства в логике.

Приведем пример софизма. Если равны половины, то равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит, полное – то же самое, что пустое. К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать. Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха будет впереди него на 10 м. Пробежит Ахиллес эти 10 м, а черепаха окажется впереди на 1 м и т.д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.

А вот два математических софизма. «Докажем», что все числа равны между собой.

Пусть a и b - произвольные числа и пусть a>b, тогда существует такое положительное число c, что a=b+c. Умножим это равенство на a-b и преобразуем полученное равенство:

a²-ab=ab+ac-b²-bc,

a²-ab-ac=ab-b²-bc,

a(a-b-c)=b(a-b-c).

Разделив обе части полученного равенства на (a-b-c), получим, что a=b. Ошибка здесь находится в самом конце, когда мы делили на число (a-b-c), которое равно нулю.

А вот «доказательство» того, что все треугольники - равнобедренные.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 1). Проведем в нем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC. Точку их пересечения обозначим через O. Из точки O опустим перпендикуляр OD на сторону AB и перпендикуляр OE на сторону BC. Очевидно, что OA=OC и OD=OE. Но тогда прямоугольные треугольники AOD и COE равны по катету и гипотенузе. Поэтому

Рис. 1

Итак, угол BAC равен углу BCA, поэтому треугольник ABC - равнобедренный: AB=BC.

Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне этого треугольника.