И еще один пример софизма. Посмотрим на рис. 2. Прямоугольники явно равносоставлены, но площадь одного равна 64 клеткам, а площадь другого - 65. И здесь ошибка в чертеже! Точки B,E,F и D не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень узкого параллелограмма, площадь которого равна площади одной клетки - той самой лишней клетки.

Рис. 2

СПИРАЛИ

Спирали - плоские кривые линии, многократно обходящие одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Такая форма кривой делает естественной запись ее уравнения в полярных координатах r = f(φ), где функция f монотонно увеличивается или монотонно уменьшается с увеличением угла φ, значения которого рассматриваются уже не на отрезке [0,2π], а, как правило, для всех действительных значений φ.

Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся спиралей.

Спираль Архимеда. Полярное уравнение архимедовой спирали, изученной древнегреческим математиком Архимедом, имеет вид r = aφ. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками; каждое из них равно 2πa (рис. 1,а).

Рис. 1

По спирали Архимеда идет, например, на грампластинке звуковая дорожка. Перемещение острия корундовой иглы по этой дорожке будет результирующим двух равномерных движений: приближения к полюсу и вращения вокруг полюса.

Металлическая пластина с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку - имеет форму спирали Архимеда.

Квадратичная спираль. Ее уравнение в полярных координатах r = aφ². Если положить рядом с центром вращающейся грампластинки натертый мелом шарик для настольного тенниса, то, скатываясь с нее, он оставит на грампластинке след в виде квадратичной спирали. Действительно, абсолютно горизонтально установить грампластинку не удастся, а прямая ее наибольшего наклона та, по которой шарик скатывается под действием силы тяжести, равномерно вращается по пластинке (рис. 1,б).

Логарифмическая спираль. Уравнение в полярных координатах логарифмической спирали имеет вид r = a^φ. Спираль эта имеет бесконечное множество витков и при раскручивании (как и архимедова), и при скручивании. Последнее означает, что она не проходит через свой полюс. Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиусом-вектором сохраняет постоянное значение (рис. 1,в).

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали - под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно. Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Если они ориентируются на точечный источник света, скажем на пламя свечи, инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

Спираль Корню. Эта кривая названа по имени французского физика XIX в. А. Корню. Главной особенностью спирали (рис. 1,г) является то, что ее кривизна прямо пропорциональна длине пройденного по ней пути.

При строительстве железных и шоссейных дорог возникает необходимость связать прямолинейные участки с участками пути, где средства транспорта движутся по дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась равномерно, и спираль Корню является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути. При этом прямой участок пути должен переходить в дугу спирали Корню, начиная с ее центра. А с путем по окружности спираль Корню стыкуется в той ее точке, где ее кривизна равняется кривизне данной окружности.

СРАВНЕНИЯ

Два целых числа, разность которых кратна данному натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m. (Слово «модуль» происходит от латинского modulus, что по-русски означает «мера», «величина».) Утверждение «a сравнимо с b по модулю m» обычно записывают в виде a ≡ b(mod m) и называют сравнением. Вот примеры сравнений: 5 ≡ 1(mod 2), 48 ≡ 0(mod 6), -16 ≡ 9(mod 5). Сравнение по модулю 1 выполняется для любых двух целых чисел, так как всякое число кратно 1. Два числа сравнимы по модулю 2, если они одной четности, т.е. либо оба четны, либо оба нечетны.

Определение сравнения было сформулировано в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования». Эту работу, написанную на латинском языке, начали печатать в 1797 г., но книга вышла в свет лишь в 1801 г. из-за того, что процесс книгопечатания в то время был чрезвычайно трудоемким и длительным. Первый раздел книги Гаусса так и называется: «О сравнении чисел вообще».

Сравнениями очень удобно пользоваться в тех случаях, когда достаточно знать в каких-либо исследованиях числа с точностью до кратных некоторого числа. Например, если нас интересует, на какую цифру оканчивается куб целого числа a, то нам достаточно знать a лишь с точностью до кратных числа 10, и можно пользоваться сравнениями по модулю 10.

Поскольку сравнение по модулю m есть не что иное, как «равенство с точностью до кратных m», то многие свойства сравнений напоминают свойства равенств. Так, два сравнения по одинаковому модулю можно складывать, вычитать, перемножать так же, как и равенства: если a ≡ b(mod m), c ≡ d(mod m), то a + c ≡ b + d(mod m), a - c ≡ b - d(mod m), ac ≡ bd(mod m). В частности, обе части сравнения можно умножать на целое число. Однако не всегда можно сократить обе части сравнения на какой-нибудь множитель. Например: 4 ≡ 2(mod 2), но

. Известно, что если произведение двух чисел равно нулю, то нулю равен хотя бы один из сомножителей. Аналогичное свойство для сравнений в общем случае не выполняется: 2·3 ≡ 0(mod 6), но  и . Однако если a·b ≡ 0(mod m) и числа a и m взаимно просты, то b ≡ 0(mod m). В частном случае, когда модуль сравнения - простое число, из того, что произведение двух чисел сравнимо с нулем, следует, что хотя бы один из сомножителей сравним с нулем, т.е. в этом случае имеется полная аналогия с равенствами.

Поскольку два числа сравнимы по модулю m в том, и только в том, случае, если они дают при делении на m одинаковые остатки, то одним из простейших примеров использования сравнений является вывод признаков делимости. Покажем, как это делается в случае признака делимости на 3. Произвольное число n можно записать в виде n = a + 10b + 100c + ..., где a - число единиц, b - число десятков и т.д. Так как 10 ≡ 1(mod 3), то 10² ≡ 1(mod 3), 10³ ≡ 1(mod 3) и т.д. Поэтому n ≡ a + b + c + ...(mod 3). В частности, n делится на 3 в том, и только в том, случае, если сумма его цифр делится на 3.

Приведем пример одной исключительно важной конструкции, к которой приводит понятие сравнения. Произвольное целое число при делении на данное натуральное число m дает в качестве остатка одно из чисел 0,1,...,m-1. Объединим в один класс числа, дающие остаток 0 при делении на m, в другой класс - числа, которые при делении на m дают остаток 1, в следующий класс - числа, дающие остаток 2, и т.д. Все целые числа разобьются на m классов. Числа, попавшие в один класс, сравнимы по модулю m, а в разные классы - несравнимы. Получившиеся классы чисел называются классами вычетов по модулю m или просто классами по модулю m. Класс, содержащий число k, обозначают k̅. Так, по модулю 2 имеется два класса: 0̅ и 1̅; класс 0̅ состоит из всех четных чисел, а класс 1̅ - из всех нечетных чисел. У класса 0̅ есть и другие обозначения, например 2̅, 4̅,

. Для классов по модулю m определены действия сложения, вычитания и умножения по формулам: , , . Приведем для примера таблицы сложения и умножения для классов по модулю 2.