Отображение I:X → X, сопоставляющее каждому элементу множества X его самого (т.е. I(x) = x), называется тождественным отображением множества X.

Отображения (функции) f : X → Y и g : Y → X называются взаимно-обратными, если g ∘ f = I_X и f ∘ g = I_Y.

Иными словами, если элемент x ∈ X под действием f перешел в элемент y = f(x) ∈ Y, то под действием обратного отображения g этот элемент y=f(x) будет возвращен именно в x ∈ X, так же как элемент x = g(y) под действием f будет отправлен в элемент y, из которого он получился при отображении g.

Обратное к f отображение g обычно обозначают символом f^-1. Таким образом, если f и g взаимно-обратные отображения, то можно записать, что g = f^-1 и f = g^-1.

Примерами пар функций, взаимно-обратных на соответствующих числовых множествах X ⊂ R и Y ⊂ R, могут служить следующие пары элементарных функций:

y = xⁿ при x ≥ 0 и

 при y ≥ 0;

y = 10^x при x ∈ R и x = lg y при y > 0;

y = sin x при x ∈ [-π/2, π/2] и

x = arcsin y при y ∈ [-1,1].

О наиболее часто встречающихся функциях вы прочитаете в статьях Элементарные функции, Линейная функция, Квадратный трехчлен, Степенная функция, Дробно-линейная функция, Показательная функция, Логарифмическая функция, Тригонометрические функции, Гиперболические функции.

Д-Ф: ЗАДАЧИ

Задача 6. Шифр устроен следующим образом: каждой цифре сопоставлено по три буквы (см. табл.), а знаку * две буквы и пробел.

Таблица.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 *

а г ж й м п т х ш ы ю

б д з к н р у ц щ ь я

в е и л о с ф ч ъ э

Попробуйте расшифровать следующую запись:

5343934*150413*6*414724144414*8156215044414*305041080.

Задача 7. Две девочки играют в такую игру: они по очереди отрывают лепестки у ромашки. За один ход можно оторвать либо один лепесток, либо два соседних (с самого края). Выигрывает девочка, сорвавшая последний лепесток. Докажите, что вторая девочка всегда может выиграть (у ромашки больше двух лепестков).

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ

Цепная линия - одна из тех плоских кривых, которые мы повседневно наблюдаем, возможно не задумываясь об их форме. Свое название цепная линия получила из-за того, что любая цепочка или любая гибкая тяжелая нерастяжимая струна, закрепленная на концах, является частью цепной линии, как, например, провод электропередачи.

Для записи уравнения цепной линии в качестве оси ординат выбирают ее ось симметрии. Тогда при соответствующем выборе оси абсцисс (рис. 1) уравнение цепной линии примет вид

y = a(e^x/a + e^-x/a)/2.

Рис. 1

Эта функция выражается через одну из элементарных функций, а именно y = a ch(x/a).

Второе замечательное свойство цепной линии обнаружил в 1744 г. Л. Эйлер. Он искал такую кривую, проходящую через две заданные точки, чтобы поверхность вращения ее вокруг заданной прямой имела бы наименьшую площадь по сравнению с площадями поверхностей, полученных вращением других кривых, проходящих через эти точки. Оказалось, что такой кривой является цепная линия; соответствующая поверхность была названа катеноидом (цепеобразной). Именно такую форму принимает мыльная пленка, если ее натянуть на два кольца, расположенных на одной оси (рис. 2).

Рис. 2

ЦИКЛОИДА

Циклоида (от греческого слова kykloeides - «кругообразный») - плоская кривая. Первые исследования циклоиды проводил в XVI в. итальянский физик и астроном Г. Галилей. Позднее этой же замечательной кривой занимались другие блестящие умы: французский физик и математик Б. Паскаль, нидерландский механик, физик и математик XVII в. X. Гюйгенс, французский философ и математик Р. Декарт.

Циклоида - кривая, которую описывает точка P окружности, катящейся без скольжения по некоторой прямой в той же плоскости (рис. 1). Эту окружность называют порождающей. Описывающая циклоиду точка совершает сложное движение: с одной стороны, она, как и все другие точки катящейся окружности, имеет составляющую скорости в направлении качения окружности, с другой - составляющую по касательной к окружности, поскольку, как и все другие точки окружности, равномерно вращается вокруг ее центра. Величины обеих скоростей равны, поэтому результирующий вектор скорости

 находится как диагональ ромба MNRP. Нетрудно показать, что перпендикуляр к результирующему вектору, проходящий через точку P, пересекает порождающую окружность в точке T ее касания с прямой, по которой она катится, сама же касательная, на которой находится результирующий вектор, проходит через точку S порождающей окружности, диаметрально противоположную точке T.

Рис. 1

У циклоиды масса любопытнейших свойств. Оказывается, например, что циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Иначе говоря, скатываясь по снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем в случае другой формы горки. Кроме того, циклоида является такой кривой, по которой должна двигаться тяжелая материальная точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды колебаний. Используя это свойство, X. Гюйгенс сконструировал часы, изображенные на рис. 2. Любопытно, что траектория конца маятника, как и ограничивающие его боковые «щеки», представляет из себя циклоиду.

Рис. 2

Уравнение циклоиды:

.

ЦИЛИНДР

Цилиндром называют фигуру, которая получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Слово «цилиндр» происходит от греческого kylindros, что означает «валик», «каток». Рассматривают также цилиндрические поверхности, составленные из всех прямых пространства, параллельных данной прямой (оси) и удаленных от нее на данное расстояние. Составляющие цилиндрическую поверхность прямые называются ее образующими. Конечно, все образующие получаются из одной вращением вокруг оси, и цилиндр можно определить как часть пространства, ограниченную цилиндрической поверхностью и двумя перпендикулярными ее оси плоскостями (рис. 1). Полное наименование такого цилиндра - прямой круговой цилиндр. В пересечении прямой круговой цилиндрической поверхности с плоскостью, не параллельной оси, может получиться либо окружность, либо эллипс (рис. 1).

Рис. 1

Наряду с прямыми круговыми рассматривают еще и так называемые обобщенные цилиндры и цилиндрические поверхности. Пусть дана плоская фигура m (рис. 2). Параллельные между собой отрезки xx' равной длины, проведенные через все точки x фигуры m по одну сторону от ее плоскости, заполняют некоторую пространственную фигуру, которую и называют обобщенным цилиндром с основанием m и образующими xx'. Если m - круг, а образующие xx' перпендикулярны плоскости m, то как раз и получится прямой круговой цилиндр. Другой частный случай обобщенного цилиндра - призма. Она получается, если m - многоугольник.