Объем любого цилиндра вычисляется по формуле V = S·H, где S - площадь основания m, а H - высота, т.е. расстояние между плоскостями основания m и получающегося из m параллельным переносом на вектор xx' второго основания m'.

Рис. 2

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия». Ле Корбюне.

Если через все точки x плоской замкнутой кривой Г провести параллельные между собой, но не лежащие в плоскости Г прямые l_x, то получится обобщенная цилиндрическая поверхность с направляющей Г и образующими l_X (рис. 3). Если Г - окружность, а образующие l_X перпендикулярны плоскости Г, то получится уже знакомая прямая круговая цилиндрическая поверхность. Если Г - замкнутая ломаная (граница многоугольника), то получится призматическая поверхность.

Рис. 3

Интересно, что объем пространственного тела, ограниченного цилиндрической поверхностью и любыми двумя пересекающими ее ось в точках O₁ и O₂ плоскостями (печной трубы, рис. 4), можно вычислить по формуле V = S₁·O₁O₂, где S₁ - площадь перпендикулярного образующим сечения.

Рис. 4

Уравнение поверхности цилиндра, у которого ось параллельна одной из координатных осей, не содержит переменной, соответствующей этой оси. Так, уравнение поверхности прямого кругового цилиндра имеет вид: x² + y² = R².

ЦИФРЫ

Цифры - условные знаки для обозначения чисел.

Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее - черточки. Но большие числа изображать таким способом было неудобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры) для некоторых совокупностей черточек.

В Древнем Египте около 5000 лет назад стали обозначать число 10 иероглифом ∩ (возможно, это символ дуги, которую ставили над десятком черточек), число 100 - знаком

 (это символ измерительной веревки) и т.д. Из таких цифр составляли десятичную запись любого числа, например число 124 обозначали так: .

Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака-прямой клин

 (1) и лежащий клин  (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так: . Число 60 снова обозначалось знаком , например число 92 записывали так: .

Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ

 для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда.

В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления - двадцатеричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 - горизонтальной чертой, например запись

 означала 14. В системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.

В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами Г, Δ, H, X, M, а число 1 - черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения

 (50),  (35) и т.д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20 000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

Сходная система обозначения чисел применялась и в Древней Руси, культура которой была тесно связана с греческой культурой Византии. Над буквами, обозначавшими числа, ставили специальный знак-титло.

Большие числа славяне записывали теми же буквами, но для обозначения тысяч рядом с буквой слева внизу ставили знак

 , например: 1000 - ; 3000 - . Число 10000 обозначали той же буквой, что и 1, но без титла, и ее обводили кружком. Называлось это число «тьма». Отсюда и выражение «тьма народу». Число следующего разряда - 100 000 - называлось «легион». Для обозначения этого числа писали букву А и вокруг нее ставили кружок из точек; 10 легионов составляли новую единицу - леодр. Леодр обозначали буквой А, заключенной в кружок из черточек.

Тьма тем (т.е. 10¹²) называлась «легион», легион легионов (т.е. 10²⁴) - «леодр», леодр леодров (т.е. 10⁴⁸) - «ворон», и наконец, число 10⁴⁹ называлось «колода». Для обозначения воронов букву ставили в кружок из крестиков. Для больших чисел уже названий не было.

Из Древнего Рима дошли до нашего времени цифры I (1), V (5), X (10), С (100), D (500), М (1000). Одни ученые полагают, что V обозначает раскрытую ладонь, а Х - две ладони или скрещенные руки. Другие же считают, что знак X ведет свое происхождение от двух линий, которыми перечеркивали десяток черточек, а V означает половину от X. От римлян эта нумерация пришла в Европу и многие азиатские страны.

ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ

П. Л. Чебышев - один из крупнейших математиков прошлого века. Первоначальное образование он получил дома. В 1841 г. Чебышев окончил физико-математический факультет Московского университета, через несколько лет защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». В 1847 г. он переехал в Петербург и начал чтение лекций по алгебре и теории чисел. В Петербурге Чебышев защитил докторскую диссертацию «Теория сравнений» и стал профессором Петербургского университета. В 1856 г. он был избран академиком Петербургской академии наук. В 1882г. он прекратил чтение лекций и целиком занялся научной работой.

К 50-м гг. относятся знаменитые работы Чебышева о простых числах. Со времен Пифагора математики интересовались таинственными законами, по которым в натуральном ряду возникают простые числа. Они могут то идти подряд: 5, 7; 11, 13; 8 004 119, 8 004 121, а то появляются большие отрезки, на которых простых чисел вовсе нет (например, между 113 и 127). Математики проделали огромную экспериментальную работу, проявили поразительное остроумие, пытаясь установить закономерность их появления. В 1809 г. французский математик А. Лежандр проанализировал простые числа, лежащие между 10000 и 1 000000, и обнаружил, что если обозначить через π(n) число простых чисел, не превосходящих n, то при n ≤ 10⁶ число π(n) очень мало отличается от