С развитием алгебры, уже при решении линейных уравнений с одним неизвестным, возникает необходимость в отрицательных числах. Еще до нашей эры их стали употреблять китайские математики. Широко использовали отрицательные числа и индийские математики (Брахмагупта, VII в.). Замечательным достижением индийских математиков было введение понятия нуля и знака для него, что позволило им создать десятичную систему записи натуральных чисел и разработать правила операций над записанными так числами. Эту запись чисел стали применять математики многих восточных стран, откуда она попала в Европу.

В XV в. самаркандский ученый ал-Каши ввел десятичные дроби. Это нововведение оставалось неизвестным европейским математикам, и лишь в 1584 г. нидерландский математик и инженер С. Стевин вновь пришел к этому открытию. Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел.

Следующими важными этапами в развитии понятия числа были открытие комплексных чисел и формальное построение теории действительных чисел на основе понятия натурального числа.

Изучение понятия числа шло не только путем обобщения, но и путем выделения из общего понятия числа важных частных случаев. Например, в множестве R действительных чисел были выделены рациональные и иррациональные числа, т.е. числа, которые соответственно можно записать в виде дроби p/q и которые нельзя записать в таком виде. По своей десятичной записи эти виды чисел различаются тем, что в записи рационального числа, начиная с некоторого места, неизменно повторяется одна и та же цифра или группа цифр, тогда как в записи иррационального числа такого повторения наступить не может. Так, 0,333...(=1/34), 5,0323232...(=2491/495) - рациональные числа; 1,4142...(=√2), 3,14159...(=π) - иррациональные числа.

Далее были выделены алгебраические числа, т.е. числа, являющиеся корнями уравнений вида

a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n,

где a₀,a₁,a_n - целые числа (если, кроме того, a₀ = 1, то корень уравнения называют целым алгебраическим числом). Примерами алгебраических чисел могут служить 1 + √2 (корень уравнения x²-2x-1=0),

 (корень уравнения x³-11=0). Каждое рациональное число p/q является алгебраическим, поскольку оно является корнем уравнения qx - p = 0.

Все числа, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными. Очевидно, что все трансцендентные числа иррациональны. Трансцендентно число π=3,1415926..., играющее важнейшую роль в математике. Отсюда вытекает, в частности, невозможность «квадратуры круга» (см. Классические задачи древности). Трансцендентно и число

, которое очень часто встречается в математическом анализе. Советский математик А. О. Гельфонд доказал, что любое число вида α^β, где α - алгебраическое число, отличное от 0 и 1, а β - иррациональное алгебраическое число, является трансцендентным. Хотя абстрактное доказательство существования трансцендентных чисел довольно просто (оно проводится с помощью общих теорем о множествах), проверить, что некоторое конкретное число трансцендентно, весьма сложно. Существуют числа, для которых вопрос об их трансцендентности не выяснен до сих пор.

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Рассмотрим два зубца хорошо всем известного профиля пилы. Направим ось Ox вдоль ровной стороны пилы, а ось Oy - перпендикулярно к ней. Получим график некоторой функции, изображенный на рис. 1.

Рис. 1

Совершенно очевидно, что и в точке a₁, и в точке a₂ значения функции оказываются наибольшими в сравнении со значениями в соседних точках справа и слева, а в точке b₂ - наименьшим в сравнении с соседними точками. Точки a₁,a₂,b₂ называются точками экстремума функции (от латинского extremum - «крайний»), точки a₁ и a₂ - точками максимума, а точка b₂ - точкой минимума (от латинских maximum и minimum - «наибольший» и «наименьший»).

Уточним определение экстремума.

Говорят, что функция f(x) в точке x₀ имеет максимум, если найдется интервал, содержащий точку x₀ и принадлежащий области определения функции, такой, что для всех точек x этого интервала оказывается f(x) < f(x₀). Соответственно функция f(x) в точке x₀ имеет минимум, если для всех точек некоторого интервала выполняется условие f(x) > f(x₀).

На рис. 2 и 3 приведены графики функций, имеющие в точке x=0 экстремум.

Рис. 2

Рис. 3

Обратим внимание на то, что по определению точка экстремума должна лежать внутри промежутка задания функции, а не на его конце. Поэтому для функции, изображенной на рис. 1, нельзя считать, что в точке b₁ она имеет минимум.

Если в данном определении максимума (минимума) функции заменить строгое неравенство на нестрогое f(x) ≤ f(x₀)  (f(x) ≥ f(x₀)), то получим определение нестрогого максимума (нестрогого минимума). Рассмотрим для примера профиль вершины горы (рис. 4). Каждая точка x плоской площадки - отрезка [x₁,x₂] является точкой нестрогого максимума.

Рис. 4

В дифференциальном исчислении исследование функции на экстремумы очень эффективно и достаточно просто осуществляется с помощью производной. Одна из основных теорем дифференциального исчисления, устанавливающая необходимое условие экстремума дифференцируемой функции, - теорема Ферма (см. Ферма теорема). Пусть функция f(x) в точке x₀ имеет экстремум. Если в этой точке существует производная f'(x₀), то она равна нулю.

На геометрическом языке теорема Ферма означает, что в точке экстремума касательная к графику функции горизонтальна (рис. 5). Обратное утверждение, разумеется, неверно, что показывает, например, график на рис. 6.

Рис. 5

Рис. 6

Теорема названа в честь французского математика П. Ферма, который одним из первых решил ряд задач на экстремум. Он еще не располагал понятием производной, но применял при исследовании метод, сущность которого выражена в утверждении теоремы.

Достаточным условием экстремума дифференцируемой функции является смена знака производной. Если в точке x₀ производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. ее убывание сменяется возрастанием, то точка x₀ будет точкой минимума. Напротив, точка x₀ будет точкой максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, т.е. переходит от возрастания к убыванию.

Точка, где производная функции равна нулю, называется стационарной. Если исследуется на экстремум дифференцируемая функция, то следует найти все ее стационарные точки и рассмотреть знаки производной слева и справа от них.

Исследуем на экстремум функцию y = x³(x - 5)².

Найдем ее производную: y' = 5x²(x-5)(x-3).

Определяем стационарные точки: x₁ = 0, x₂ = 3, x₃ = 5. Нетрудно заметить, что в интервалах между стационарными точками знак производной не изменяется, на каждом из интервалов он отмечен на рис. 7. Используя достаточное условие экстремума, можно сделать заключение: в точке x₁ = 0 экстремума нет; точка x₂ = 3 - точка максимума; точка x₃ = 5 - точка минимума.