Основные работы И. М. Виноградова относятся к теории чисел (см. Чисел теория). Ему принадлежит решение одной из двух проблем Гольдбаха, которые были поставлены в переписке X. Гольдбаха (немецкого математика XVIII в., большую часть жизни прожившего в России) с Л. Эйлером в 1742 г. Они формулируются так: каждое четное число ≥4 является суммой двух простых чисел (бинарная проблема Гольдбаха) и каждое нечетное число ≥7 является суммой трех простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха). Эти проблемы не поддавались усилиям крупнейших математиков. И. М. Виноградов не только решил тернарную проблему Гольдбаха, доказав, что каждое достаточно большое нечетное число представляется суммой трех простых чисел, но также получил формулу, выражающую количество таких представлений. По этой формуле можно узнать, сколькими способами заданное нечетное число может быть разложено на сумму трех простых чисел. Для решения проблемы Гольдбаха ученый создал один из самых общих и мощных методов теории чисел - метод тригонометрических сумм. Применяя этот метод, он сам и его последователи получили большое количество выдающихся результатов как в теории чисел, так и в других областях математики.

И. М. Виноградов родился в 1891 г., в небольшом селе Милолюб Великолукского района, в семье сельского священника. Он окончил Великолукское реальное училище (1910). Петербургский университет (1914), работал доцентом и профессором в Пермском университете, затем профессором в ленинградских вузах. Он был организатором и бессменным директором Математического института им. В. А. Стеклова Академии наук СССР - признанного центра математики в СССР и во всем мире.

------------------------------------------

Геометрический метод теории чисел мы проиллюстрируем на примере великой теоремы Ферма. В этой теореме идет речь о разрешимости в целых числах уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ. Поделив обе части уравнения на zⁿ и заменив x/z на u, a y/z на v получим уравнение uⁿ + vⁿ = 1. Это уравнение задает на плоскости с координатами (u,v) некоторую кривую. Решения исходного уравнения в целых числах соответствуют решениям нового уравнения в рациональных числах. О каждом таком решении (u,v) можно говорить как о точке с рациональными координатами на этой плоскости. Теперь можем попытаться применить геометрические методы к кривой uⁿ + vⁿ = 1 для исследования на ней множества точек с рациональными координатами.

Большой раздел теории чисел, занимающийся нахождением решений уравнений в целых и рациональных числах, носит название теории диофантовых уравнений, по имени древнегреческого ученого Диофанта (III в.).

К числу очень старых и известных задач теории чисел относится задача представления чисел суммами квадратов. Перечислим некоторые из полученных результатов:

каждое целое число можно представить как сумму четырех квадратов целых чисел (например: 7 = 2² + 1² + 1² + 1²);

каждое простое число вида 4n + 1 можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел (например: 5 = 2² + 1², 41 = 4² + 5² и т.п.), а ни одно целое (не только простое) число вида 4n + 3 нельзя представить в таком виде;

каждое простое число, кроме чисел вида 8n - 1, можно представить в виде суммы трех квадратов целых чисел.

Простое алгебраическое тождество

(a² + b²)(x² + y²) = (ax + by)²+ (ay - bx)²

позволяет сделать вывод: если два числа представимы суммами двух квадратов, то и их произведение представимо суммой двух квадратов. Алгебраические методы в последнее время широко применяются в теории чисел. Этому способствовало развитие такого общего алгебраического понятия, как поле, само появление которого во многом стимулировалось задачами теории чисел.

Чем особенно ценна теория чисел? Ведь найти непосредственное применение ее результатам трудно. Тем не менее задачи теории чисел привлекают как пытливых молодых людей, так и ученых в течение многих столетий. В чем же здесь дело? Прежде всего эти задачи, как уже говорилось, очень интересны и красивы. Во все времена человека поражало, что на простые вопросы о числах так трудно найти ответ. Поиски этих ответов часто приводили к открытиям, значение которых далеко превосходит рамки теории чисел. Достаточно упомянуть о так называемой теории идеалов немецкого математика XIX в. Э. Куммера, которая родилась в связи с попытками доказать великую теорему Ферма.

ЧИСЛО

Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.

Когда-то численность множества не отделялась от других его качеств, и для того, чтобы сравнить два множества, их элементы располагали друг против друга. Но потом оказалось, что удобнее сравнивать все множества с одним и тем же множеством-посредником. Так как пальцы были всегда при себе, то и стали считать по пальцам. А потом появились особые названия для чисел - сначала для небольших, а потом для все больших и больших.

Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их (см. Цифры). При этом вавилоняне уже пользовались, по сути дела, позиционным принципом в обозначении чисел - один и тот же знак обозначал у них и 1, и 60, и 3600 (их система счисления была шестидесятеричной). Не знали они только знака для нуля - это замечательное изобретение сделали индийские математики в VI в.

Для практических нужд требовалось не только уметь обозначать числа, но и выполнять с ними арифметические действия. Вавилоняне, чтобы справиться с трудностями своей шестидесятеричной системы счисления, применяли таблицы произведений, квадратов, кубов и т.д. А древние греки и римляне считали с помощью абака - прибора, похожего на русские счеты, но с камешками вместо косточек (см. Вычислительная техника).

Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В III в. до н.э. Архимед разработал систему обозначения чисел вплоть до такого громадного числа, как

Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. Множества натуральных чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат любого измерения. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения двух таких чисел, т.е. дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «...элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом». Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата не соизмерима с его стороной. Отсюда следовало, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основания утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Открытие несоизмеримых величин наложило глубокий отпечаток на развитие древнегреческой математики. Так как в то время не знали чисел, отличных от натуральных и дробей, возникли две науки, которые развивались параллельно, но имели различные объекты изучения: арифметика - наука о числах и геометрия, в которой, в частности, рассматривалось учение о величинах - длинах, площадях, объемах.

Древнегреческие ученые умели складывать и вычитать величины, находить их кратные и доли, а над их отношениями умели выполнять операции умножения, деления, возведения в степень. Однако, поскольку не существовало общей идеи числа, все эти операции невозможно было объединить в единую систему, в арифметику действительных чисел. Это тормозило развитие древнегреческой науки, сковывало, как панцирь, живое тело античной математики. Гораздо свободнее, но менее строго обращались с числами ученые, занимавшиеся практическими задачами: астрономы, землеустроители, географы и т.д. В их работах, относящихся ко II в. до н.э. - III в., постепенно стирается грань между числами и величинами. Этот процесс завершили математики средневекового Востока (Омар Хайям, XI-XII вв.).