------------------------------------------

В теории вероятностей и ее применениях важную роль играют числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание и дисперсия. Мы дадим их определение для дискретных случайных величин. Пусть x₁, x₂,... - возможные значения случайной величины ξ и p₁, p₂,... - вероятности этих значений, тогда сумма

называется математическим ожиданием ξ, а E(ξ - Eξ)² = Dξ - дисперсией ξ.

П.Л. Чебышев доказал закон больших чисел в очень общей форме, а именно: пусть ξ₁, ξ₂, ... - последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями a₁, a₂,... и дисперсиями Dξ_k, ограниченными одной и той же величиной C, тогда для любого положительного ε > 0 выполняется

Вторая предельная теорема получила наименование теоремы Ляпунова, или центральной предельной теоремы: если случайные величины ξ₁, ξ₂, ... независимы, имеют конечные математические ожидания a₁, a₂,... и дисперсии Dξ_k = b²_k, то при дополнительном условии равномерной малости отдельных слагаемых имеет место:

где

Эта теорема является значительным обобщением интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

В нашем веке в связи с физическими, биологическими, инженерными и другими исследованиями возникла необходимость рассматривать случайные процессы ξ(t), т.е. случайные функции от одного независимого переменного t, под которым обычно понимается время.

Теория случайных процессов в наши дни является одним из основных математических средств изучения явлений реального мира.

Первые задачи теории вероятностей были рассмотрены Л. Пачоли (1445-ок. 1514), Д. Кардано (1501-1576), Н. Тарталья (ок. 1499-1557), Б. Паскалем (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), X. Гюйгенсом (1629-1695). В качестве самостоятельной научной дисциплины теория вероятностей стала оформляться в работах Я. Бернулли (1654-1705), А. Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749-1827), С. Пуассона (1781-1840). Ее последующее развитие связано с именами П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова (1857-1918), А. Я. Хинчина (1894-1959), С. Н. Бернштейна (1880-1968), А. Н. Колмогорова (1903-1987) и других.

ВИВИАНИ КРИВАЯ

Изображенную на рисунке пространственную кривую - «восьмерку» называют вивианой, по имени итальянского ученого XVII в. В. Вивиани, изучавшего эту кривую. Эта кривая получается как линия пересечения сферы с поверхностью цилиндра вдвое меньшего радиуса, проходящей через ее центр. Вивиана отделяет на сфере две области, суммарная площадь которых равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы. На доказательствах свойств вивианы пробовали мощь методов математического анализа ученые, стоявшие у истоков этой науки, - Г. В. Лейбниц, И. Бернулли и другие.

Несложно вычертить вивиану на поверхности деревянного цилиндра. Для этого нужно взять циркуль с раствором, равным диаметру цилиндра, и, воткнув иглу в цилиндр, двигать грифель по его поверхности.

ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ

Ход изменения функции становится наиболее ясным, если перед глазами есть график этой функции. Для примера рассмотрим график на рис. 1.

Рис. 1

Если при возрастании аргумента на некотором промежутке функция y = f(x) в свою очередь возрастает, так что большему значению x соответствует большее значение y, то функция называется возрастающей в этом промежутке. Если же с возрастанием аргумента функция убывает, так что большему значению x соответствует меньшее значение y, то ее называют убывающей. Так, например, функция на рис. 1 – возрастающая в промежутках от a до b, от c до d и от f до g и убывающая в промежутках от b до c, от e до f и от g до h. На промежутке от d до e функция принимает постоянное значение, не изменяется, можно сказать, что на промежутке от c до d функция f(x) не убывает, а на промежутке от e до f не возрастает. Функции возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие объединяются общим названием «монотонные».

Для функции, заданной аналитически (формулой), построение ее графика может потребовать большого труда. Исследование характера изменения функции, нахождение промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции можно осуществить с помощью ее производной.

Пусть функция y = f(x) в каждой точке некоторого интервала имеет производную. Для того чтобы функция возрастала на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная f'(x) была положительна на этом интервале, за исключением лишь отдельных точек, где эта производная может обращаться в нуль. Для того чтобы функция убывала на интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была отрицательна на этом интервале, опять же за исключением лишь отдельных точек, где производная может равняться нулю.

Геометрически этот факт почти очевиден. Производная, как известно, равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ox. Если функция возрастает, то при движении слева направо ее график поднимается, а график убывающей функции опускается (рис. 2 и 3). Ясно, что в первом случае касательная к графику образует с осью Ox острый угол, а во втором случае -  тупой. Лишь в отдельных точках касательная может оказаться горизонтальной, т.е. производная в соответствующих точках обратится в нуль.

Рис. 2

Рис. 3

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ФИГУРЫ

Многоугольник называется вписанным в выпуклую кривую, а кривая – описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на кривой (рис. 1). Многоугольник называется описанным вокруг выпуклой кривой, а кривая – вписанной в многоугольник, если каждая его сторона касается кривой. Если же кривая касается всех прямых, на которых лежат стороны многоугольника, причем некоторых из них она касается в точках, не принадлежащих сторонам, то она называется вневписанной. В качестве кривой чаще всего рассматривается окружность. Так, например, всякий треугольник имеет одну описанную окружность, одну вписанную и три вневписанных (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Но уже не всякий четырехугольник имеет вписанную или описанную окружность. Описанная вокруг четырехугольника окружность существует лишь в том случае, если сумма его противоположных углов равна 180°. А для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы каждая сумма длин одной пары противоположных сторон была равна сумме длин второй пары сторон.