Вписанная и описанная окружности существуют у любого правильного многоугольника (рис. 3). Этот факт использовался еще в древности для нахождения отношения длины окружности к ее радиусу.

Рис. 3

Нетрудно обнаружить тот факт, что если на плоскости задана замкнутая кривая G и равносторонний треугольник, то вокруг G всегда можно описать равносторонний треугольник со сторонами, параллельными сторонам данного (рис. 4). Менее очевидным является утверждение о том, что вокруг любой замкнутой кривой можно описать квадрат.

Рис. 4

Вписанные и описанные фигуры рассматриваются и в пространстве.

В этом случае вместо многоугольника рассматривается многогранник, а вместо выпуклой линии – выпуклая поверхность, чаще всего сфера.

Сфера называется описанной около многогранника, а многогранник – вписанным в сферу, если все вершины многогранника лежат на сфере. Сфера называется вписанной в многогранник, а многогранник описанным около сферы, если плоскости всех его граней касаются сферы.

У правильных многогранников существуют описанные и вписанные сферы, поскольку вершины правильного многогранника равноудалены от его центра (рис. 5). Для того чтобы у других многогранников существовали описанная и вписанная сферы, требуются определенные условия. Например, около прямой призмы или пирамиды можно описать сферу, если можно описать окружность около ее основания (рис. 6).

Рис. 5

Рис. 6

Иногда рассматривают конус, вписанный в сферу; сферу, вписанную в конус, цилиндр и т.п. (рис. 7).

Рис. 7

На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда о том, что объемы этих тел относятся как 3:2. Когда римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в І в. до н. э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ

Выпуклой называется такая фигура, которой принадлежат все точки отрезка, соединяющего любые ее две точки. Выпуклыми фигурами являются, например, круг, шар, треугольник; четырехугольники могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми (рис. 1).

Рис. 1

Справедливо такое утверждение: «Общая часть двух выпуклых фигур вновь является выпуклой фигурой». Его вы сможете доказать сами, считая пустое множество выпуклой фигурой. Еще одно важное свойство плоской выпуклой фигуры: через каждую точку на ее границе можно провести прямую (она называется опорной прямой) так, что вся фигура будет лежать по одну сторону от этой прямой (рис. 2).

Рис. 2

Верно и обратное утверждение: если через каждую точку границы некоторой плоской фигуры можно провести опорную прямую, то эта фигура является выпуклой. Таким образом, существование опорных прямых в каждой граничной точке можно принять за определение плоской выпуклой фигуры.

Для выпуклых тел опорные плоскости определяются аналогично (рис. 3).

Рис. 3

Наличие опорных прямых и плоскостей у выпуклых фигур является фактом довольно очевидным. Гораздо менее очевиден следующий факт, открытый в 1913 г. австрийским математиком Э. Хелли: «Если из нескольких заданных на плоскости выпуклых фигур каждые три имеют общую точку, то тогда существует точка, принадлежащая всем этим фигурам». Требование выпуклости в этом утверждении существенно. Действительно, на рис. 4 изображены четыре фигуры, из которых лишь одна невыпукла, однако хотя у любых трех из них есть общая точка, но нет точки, общей всем четырем фигурам.

Рис. 4

Для выпуклых тел (в пространстве) теорема Хелли в приведенном виде неверна. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть четыре треугольника, образующих грани треугольной пирамиды. Однако если потребовать, чтобы у системы выпуклых тел в пространстве каждые четыре тела имели общую точку, то тогда и все эти тела будут иметь общую точку. Теорема Хелли в соответствующей формулировке была доказана для пространства произвольного числа измерений и в этом виде оказалась очень полезной во многих математических исследованиях.

В последнее время понятие выпуклости получило широкое распространение в математике, особенно в ее прикладных областях. Появились «выпуклый анализ» и «выпуклое программирование», результаты которых облегчают поиск решений (особенно на ЭВМ) многих важных практических задач экономики, управления и других областей. Одним из самых интересных разделов геометрической теории выпуклых фигур является теория кривых постоянной ширины. Так называют кривую, ограничивающую такую выпуклую фигуру на плоскости, для которой расстояние между каждой парой параллельных опорных прямых равно одному и тому же постоянному числу h.

Простейшей кривой постоянной ширины является окружность, но трудно представить себе другую кривую с таким свойством. Первым такую кривую нашел не математик, а французский механик Ф. Рело. Это равносторонний криволинейный треугольник, стороны которого являются дугами окружностей с центрами в вершинах этого треугольника (рис. 5). Из рис. 6 нетрудно понять способы построения двух других кривых постоянной ширины. Интересно, что длина любой кривой постоянной ширины h равна πh.

Рис. 5

Рис. 6

Кривые постоянной ширины имеют многочисленные практические применения. На рис. 7 изображен механизм, состоящий из подвижной рамки, способной подниматься и опускаться, и треугольника Рело, который может вращаться вокруг своей вершины O. При таком вращении рамки 1/6 часть периода полного оборота находится в нижнем положении, потом 1/3 периода поднимается вверх, далее неподвижно стоит там еще 1/6 периода и за последние 1/3 периода опускается вниз. Такое движение часто бывает необходимым, например, в киносъемочных аппаратах и кинопроекторах.

Рис. 7

Треугольник Рело, как и любая кривая постоянной ширины h, может вращаться внутри полосы ширины h, как в описанном механизме, постоянно касаясь обеих прямых, более того, он может вращаться внутри квадрата со стороной h, касаясь одновременно всех четырех его сторон.

А существуют ли такие выпуклые фигуры, которые могут вращаться внутри, скажем, равностороннего треугольника, постоянно касаясь всех его сторон? Одну такую фигуру вы знаете – это вписанный круг. А еще? Оказывается, таким свойством обладает пересечение двух кругов одинакового радиуса, расположенных так, что центр каждого из них лежит на границе другого (рис. 8). В отличие от круга, который при вращении продолжает касаться каждой прямой в одной и той же точке, этот двуугольник при вращении входит в соприкосновение последовательно и со всеми точками границы треугольника. Это его свойство позволило сконструировать механизм, позволяющий высверливать отверстия треугольной формы.

Рис. 8