ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

Важным характеризующим функцию свойством является монотонность (см. Возрастание и убывание функций). Однако этого свойства иногда оказывается недостаточно, чтобы описать ход изменения функции. На рис. 1 и 2 приведены графики монотонных функций, но они, как видим, различны. Форма графика первой функции, например, напоминает тяжелую нить, подвешенную в точках A и B, а форма второй – ветвь яблони, отягощенной плодами. Говорят, что функция, изображенная на рис. 1, выпукла вниз, а на рис. 2 – выпукла вверх. Точнее, функцию f(x), непрерывную на некотором промежутке X называют выпуклой вниз, если для любых точек x₁ и x₂ из промежутка X выполняется неравенство f ( (x₁ + x₂) /2 ) ≤ (f(x₁) + f(x₂)) /2 ).

Рис. 1

Рис. 2

Если для любых точек x₁ и x₂ из промежутка X справедливо неравенство f ( (x₁ + x₂) /2 ) ≥ (f(x₁) + f(x₂)) /2 ), то функцию f(x) называют выпуклой вверх (вогнутой). Эти неравенства имеют простой геометрический смысл. Точка с абсциссой (x₁ + x₂)/2 есть середина отрезка [x₁; x₂], а f( (x₁ + x₂)/2 )- ордината соответствующей точки кривой (рис. 3); значение ( f(x₁) + f(x₂) )/2 равно ординате точки C, лежащей на хорде MN. Таким образом, на отрезке [x₁; x₂] функция выпукла вниз, если точка, принадлежащая графику функции, лежит ниже точки хорды MN (имеющей ту же абсциссу) или на хорде MN. Функция выпукла вверх, если точка, принадлежащая графику функции, лежит выше точки хорды MN (имеющей ту же абсциссу) или на хорде MN.

Рис. 3

Исследования функции на выпуклость очень удобно проводить средствами математического анализа.

Как известно, имеют место следующие теоремы анализа:

1) если дифференцируемая функция выпукла вниз на промежутке X, то ее график расположен над касательной, проведенной в любой точке графика, а график дифференцируемой функции, выпуклой вверх, расположен под касательной, проведенной в любой точке графика (рис. 4 и 5);

Рис. 4

Рис. 5

2) если функция f(x) дважды дифференцируема на промежутке X, то она выпукла вниз, когда ее вторая производная f"(x) неотрицательна на этом промежутке: f"(x) ≥ 0, и выпукла вверх, когда ее вторая производная f"(x) неположительна: f"(x) ≤ 0. Это легко запомнить, если представить себе, что капли, падающие на выпуклую вниз кривую, «скапливаются» на ней, а падающие на выпуклую вверх кривую - «скатываются» с нее (рис. 6).

Рис. 6

Так, функция y=x² всюду выпукла вниз, поскольку y' = 2x и y" = 2>0 для всех x. Функция y = ln x выпукла вверх на промежутке ]0; +∞[, так как

y' = 1/x, y" = -1/x² < 0.

Рассмотрим график функции y = sin x на отрезке [-π;π] (рис. 7). Ее первая и вторая производные: y' = cos x, y" = -sin x. На интервале ]-π; 0[ вторая производная положительна (так как sin x < 0), кривая выпукла вниз; напротив, на интервале ]0;π[ вторая производная отрицательна (здесь sin x > 0), кривая выпукла вверх.

Рис. 7

Точку M(x₀,y₀) кривой y=f(x), где функция f(x) имеет вторую непрерывную производную, называют точкой перегиба, если кривая имеет различную выпуклость по разные стороны от этой точки.

Так точка O(0;0) есть точка перегиба функции y = sin x слева от нее функция выпукла вниз, справа – выпукла вверх.

Если функция в точке x₀ имеет перегиб, то в силу первой теоремы, названной выше, касательная к кривой, проведенная в точке перегиба, будет с одной стороны лежать над кривой, а с другой – под кривой. График кривой в точке перегиба переходит (перегибается) с одной стороны касательной на другую. На рис. 7 синусоида переходит с одной стороны прямой y = x, являющейся касательной в начале координат, на ее другую сторону.

При этом f"(x₀) = 0, так как по одну сторону от точки перегиба f"(x) ≥ 0, а по другую - f"(x) ≤ 0.

Таким образом, точки перегиба у дважды непрерывно дифференцируемой функции могут быть только там, где вторая производная функции обращается в нуль. Так, у функции y = sin x в точке x=0 имеем y" = 0.

Следует, однако, заметить, что могут быть точки, где f"(x) = 0, но точки перегиба в них нет. При переходе через такую точку вторая производная сохраняет знак и функция не меняет выпуклости. Например, кривая y=x² всюду выпукла вниз (рис. 8), хотя ее вторая производная при x=0 равна нулю. Действительно, y" = 12x² и y" ≥ 0 при x=0.

Рис. 8

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

Под термином «вычислительная техника» понимают совокупность технических систем, т. е. вычислительных машин, и математических средств, методов и приемов, используемых для облегчения и ускорения решения трудоемких задач, связанных с обработкой информации (вычислениями), а также отрасль техники, занимающаяся разработкой и эксплуатацией вычислительных машин.

Основные функциональные элементы современных вычислительных машин, или компьютеров (от английского слова compute вычислять, подсчитывать), выполнены на электронных приборах, поэтому их называют электронными вычислительными машинами, или сокращенно ЭВМ.

По способу представления информации вычислительные машины делят на три группы:

- аналоговые вычислительные машины (АВМ), в которых информация представляется в виде непрерывно изменяющихся переменных, выраженных какими-либо физическими величинами;

- цифровые вычислительные машины (ЦВМ), в которых информация представляется в виде дискретных значений переменных (чисел), выраженных комбинацией дискретных значений какой-либо физической величины (цифр);

- гибридные вычислительные машины, в которых используются оба способа представления информации.

Каждый из этих способов представления информации имеет свои преимущества и недостатки. ЦВМ распространены более всего потому, что точность их результатов в принципе не зависит от точности, с которой они изготовлены. Этим объясняется и тот факт, что первое аналоговое вычислительное устройство – логарифмическая линейка – появилась только в XVII в., а самыми древними цифровыми средствами для облегчения вычислений были человеческая рука и камешки. Благодаря счету на пальцах возникли пятеричная и десятичная системы счисления.

Более поздними изобретениями для счета были бирки с зарубками и веревки с узелками. Первым устройством, специально предназначенным для вычислений, был простой абак, с которого и началось развитие вычислительной техники. Счет на абаке, известный уже в Древнем Египте и Древней Греции задолго до нашей эры, просуществовал вплоть до XVI- XVII вв., когда его заменили письменные вычисления. Заметим, что абак служил не столько для облегчения собственно вычислений, сколько для запоминания промежуточных результатов. Известно несколько разновидностей абака: греческий (египетский) абак в виде дощечки, на которой проводили линии и в получившиеся колонки клали камешки; римский абак, на котором камешки могли передвигаться по желобкам; китайский суан-пан и японский соробан с шариками, нанизанными на прутики; счетные таблицы, состоявшие из горизонтальных линий, соответствующих единицам, десяткам, сотням и т.д., и вертикальных, предназначенных для отдельных слагаемых и сомножителей; на эти линии выкладывались жетоны (до четырех). Русский абак – счеты появились в XVI-XVII вв., ими пользуются и в наши дни. Русские счеты стоят на особом месте среди разновидностей абака, так как они используют десятичную, а не пятеричную систему счисления, как все остальные абаки. Основная заслуга изобретателей абака состоит в создании позиционной системы представления чисел (см. Система счисления).