А вот пример уже более сложной задачи: «Построить треугольник по высоте, биссектрисе и медиане, выходящим из одной его вершины».

Как нетрудно убедиться, построение возможно лишь в том случае, если длины высоты h, биссектрисы b и медианы m либо одинаковы, либо удовлетворяют соотношению h < b < m; в противном случае искомого треугольника не существует.

Если провести на плоскости произвольную прямую l и восставить из некоторой ее точки H перпендикуляр к этой прямой, а затем отложить на нем отрезок AH длины h, то можно считать, что точка A - одна из вершин искомого треугольника, а прямая l будет содержать его основание. Отметив точки K и M пересечения прямой l с окружностями радиусов b и m, центры которых находятся в точке A (рис. 1), и проведя их радиусы AK и AM, находят биссектрису и медиану нашего треугольника. (Заметим, что биссектриса всегда лежит между медианой и высотой.)

Рис. 1

Дальнейшее построение основано на довольно простом, но редко отмечаемом факте: биссектриса угла треугольника и серединный перпендикуляр к стороне, противолежащей этому углу, пересекаются в точке D, лежащей на окружности, описанной вокруг рассматриваемого треугольника, поскольку оба они делят пополам дугу этой окружности, стягиваемую указанной стороной (хордой) и не содержащую вершины A (рис. 2).

Рис. 2

Окончательное построение теперь уже просто. Через точку M проводят перпендикуляр к прямой l и продолжают биссектрису AK до пересечения с ним в точке D (рис. 3). Итак, точки A и D лежат на окружности, описанной вокруг искомого треугольника, а ее центр O, очевидно, находится на серединном перпендикуляре к хорде BC и на серединном перпендикуляре к отрезку AD, являющемуся также одной из ее хорд. Построив точку O как точку пересечения указанных срединных перпендикуляров, можно провести окружность, описанную вокруг искомого треугольника, поскольку известны центр O и радиус OA. Точки пересечения этой окружности с прямой l являются недостающими вершинами B и C искомого треугольника. Остается лишь соединить концы отрезка BC с точкой A.

Рис. 3

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Одна из труднейших задач на построение, которую уже тогда умели выполнять, - построение окружности, касающейся трех данных окружностей. Эта задача называется задачей Аполлония – по имени греческого геометра Аполлония из Перги (ок. 200 г. до н.э.).

Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба, а именно построение квадрата, равновеликого данному кругу, деление произвольного угла на три равные части и построение стороны куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба.

Эти три задачи привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении столетий, и лишь в середине прошлого века была доказана их неразрешимость, т.е. невозможность указанных построений лишь с помощью циркуля и линейки. Эти результаты были получены средствами не геометрии, а алгебры, что еще раз подчеркнуло единство математики. Однако до сих пор еще встречаются люди, которые пытаются найти решения указанных задач при помощи циркуля и линейки.

Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и пятнадцатиугольник, а также все многоугольники, которые получаются из них удвоением числа сторон, и только их.

Новый шаг в решении поставленной задачи был сделан лишь в 1801 г. немецким математиком К. Гауссом, который открыл способ построения правильного семнадцатиугольника при помощи циркуля и линейки и указал все значения n, при которых возможно построение правильного n-угольника указанными средствами. Этими многоугольниками оказались лишь многоугольники, у которых количество сторон является простым числом Ферма (т.е. простым числом вида

) (см. Ферма малая теорема) или произведением нескольких различных простых чисел Ферма, а также те, которые получаются из них путем удвоения числа сторон. Таким образом, с помощью циркуля и линейки оказалось невозможным построить правильный семиугольник, девяти-, одиннадцати-, тринадцатиугольник и т.д.

Другие геометрические построения. Однако в практических построениях нас никто не ограничивает в выборе математических инструментов, которых со времен древнегреческих математиков было создано великое множество. Чтобы выполнить большинство построений с нужной точностью, достаточно линейки с делениями и транспортира. Заметим, что точка, нанесенная карандашом на бумаге, отнюдь не является идеально математической точкой, а имеет определенные размеры, как и точка, полученная пересечением двух прямых, проведенных карандашом, особенно если угол между ними мал.

Довольно любопытны некоторые приближенные способы построения. Например, приближенная квадратура круга получается, если за сторону квадрата взять хорду, проходящую через конец одного из радиусов круга (OB) и середину перпендикулярного ему радиуса (OC) (рис. 4). Этому построению соответствует значение π ≈ 3,2.

Рис. 4

Теория построений при помощи циркуля и линейки получила широкое развитие в конце XIX в. Например, было показано, что любое построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки, можно выполнить с помощью лишь одной линейки, если в плоскости построения задана некоторая окружность и указан ее центр.

ТЕОРЕМА МОРЛИ

Одна из трех знаменитых задач древности задача о делении произвольного угла на три равные части. Лишь сравнительно недавно было доказано, что деление угла с помощью циркуля и линейки не всегда возможно. Видимо, этим объясняется то, что лишь в 1899 г. был открыт следующий удивительный факт: если в произвольном треугольнике разделить каждый угол на три равные части, то точки пересечения делящих их лучей (рис. 1) окажутся вершинами равностороннего треугольника. Эта теорема получила название теоремы Франка Морли, по имени американского математика, открывшего этот факт. Позже было замечено, что этим свойством обладают также и точки пересечения лучей, делящих на равные части внешние углы произвольного треугольника (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Геометрическое преобразование плоскости - взаимно-однозначное отображение этой плоскости на себя. Наиболее важными геометрическими преобразованиями являются движения, т.е. преобразования, сохраняющие расстояние. Иначе говоря, если f - движение плоскости, то для любых двух точек A,B этой плоскости расстояние между точками f(A) и f(B) равно |AB|.

Движения связаны с понятием равенства (конгруэнтности) фигур: две фигуры F и G плоскости а называются равными, если существует движение этой плоскости, переводящее первую фигуру во вторую. Фактически это определение использовал еще Евклид (см. Геометрия), называвший две фигуры равными, если одну из них можно наложить на другую так, чтобы они совпали всеми своими точками; под наложением здесь следует понимать перекладывание фигуры как твердого целого (без изменения расстояний), т.е. движение.