Рис. 17

Заметим, что рассмотренное преобразование подобия g = h ∘ r (его называют поворотным растяжением) имеет тесную связь с комплексными числами. Комплексное число z = x + iy можно представить в виде направленного отрезка, идущего из начала координат в точку (x;y). При таком геометрическом изображении комплексные числа складываются как векторы (рис. 18). А для получения геометрической интерпретации умножения комплексных чисел удобно поворотное растяжение g = h ∘ r, рассмотренное выше. Именно, пусть z = x + iy - некоторое комплексное число, ρ - его модуль (т.е. длина изображающего отрезка), а φ - аргумент (т.е. угол наклона изображающего направленного отрезка к положительной части оси абсцисс). Число z получается из числа 1, если, во-первых, вектор, изображающий число 1, растянуть в ρ раз, и, во-вторых, повернуть его на угол φ (рис. 19), т. е. вектор z получается из вектора 1 преобразованием g = h ∘ r = r ∘ h, где h - гомотетия с центром в начале и коэффициентом ρ, а r - поворот вокруг начала на угол φ. Итак, z = g(1). Если теперь z' = x' + iy' - другое комплексное число, то при применении преобразования g (т. е. при растяжении изображающего вектора в ρ раз и повороте его на угол φ) число z' переходит в z" (рис. 19). Можно сказать и иначе: треугольники на рис. 19 подобны. Это и дает геометрическую интерпретацию умножения комплексных чисел. Из сказанного ясно, что при умножении всех комплексных чисел на одно и то же комплексное число z вся плоскость комплексных чисел подвергается поворотному растяжению. В частности, для любых трех комплексных чисел z₀,z₁,z₂ мы имеем z₂ - z₀ = z(z₁ - z₀), где z - комплексное число, модуль которого равен отношению длин векторов z₂ - z₀ и z₁ - z₀, а аргумент равен углу между этими векторами (рис. 20).

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Задача 7. На сторонах треугольника A₁A₂A₃ построены вне его подобные между собой треугольники A₁B₁A₂, A₂B₂A₃, A₃B₃A₁. Доказать, что точка пересечения медиан ΔB₁B₂B₃ совпадает с точкой пересечения медиан ΔA₁A₂A₃.

Решение. Обозначим через a₁,a₂,a₃,b₁,b₂,b₃ комплексные числа, изображаемые векторами

, , , , , . Тогда a₂ - b₁ = z(a₁ - b₁), a₃ - b₂ = z(a₂ - b₂), a₁ - b₃ = z(a₃ - b₃), где z - комплексное число, модуль которого равен отношению боковых сторон рассматриваемых подобных треугольников, а аргумент равен φ (рис. 21). Складывая эти равенства, получаем (после очевидных упрощений):

(z-1)(b₁ + b₂ + b₃) = (z-1)(a₁ + a₂ + a₃) .

Рис. 21

Так как z ≠ 1 (поскольку аргумент φ числа z отличен от нуля), то отсюда следует, что b₁ + b₂ + b₃ = a₁ + a₂ + a₃. Переходя к векторным обозначениям и деля на 3, получаем

,

а это и означает, что точки пересечения медиан ΔB₁B₂B₃ и ΔA₁A₂A₃ совпадают (см. Вектор).

Расскажем коротко и о других преобразованиях, играющих важную роль в современной геометрии. Преобразование f евклидовой плоскости называется аффинным, если оно каждую прямую переводит снова в прямую, а параллельные между собой прямые – снова в параллельные (рис. 22). Если на плоскости введена система координат, то аффинное преобразование задается линейными соотношениями, т.е. точка A'(x';y'), в которую переходит точка A(x;y), определяется формулами

,

где ad - bc ≠ 0 (и обратно: такими формулами задается некоторое аффинное преобразование). Далее, если A,B,C - три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, и A', B', C' - три другие точки, также не лежащие на одной прямой, го существует, и притом только одно, аффинное преобразование, переводящее точки A,B,C соответственно в A', B', C'. Отметим, что длины и углы могут изменяться при аффинных преобразованиях. Не сохраняется (в отличие от преобразований подобия) и отношение длин отрезков. Однако отношение длин двух параллельных отрезков сохраняется при любом аффинном преобразовании. В частности, середина отрезка переходит при аффинном преобразовании снова в середину отрезка, параллелограмм переходит в параллелограмм, медиана треугольника в медиану и т. п. Круг при аффинном преобразовании переходит в эллипс, причем из отмеченных выше свойств аффинных преобразований легко следует, что середины параллельных между собой хорд эллипса лежат на одном отрезке, проходящем через центр эллипса (рис. 23).

Рис. 22

Рис. 23

Все аффинные преобразования плоскости, вместе взятые, образуют группу преобразований, и потому (см. Геометрия) они определяют некоторую геометрию. Она называется аффинной геометрией. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами фигур, которые изучаются в аффинной геометрии) являются прямолинейное расположение точек, параллельность, отношение длин параллельных отрезков и другие свойства, получаемые из этих (например, наличие у фигуры центра симметрии). Не говоря более подробно об этой геометрии, покажем на примерах, как отмеченные выше свойства аффинных преобразований могут быть применены при решении задач.

Задача 8. Доказать, что в произвольной трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение. Для равнобочной трапеции это очевидно (так как равнобочная трапеция симметрична относительной прямой, проходящей через середины оснований). Пусть теперь A'B'C'D' - произвольная трапеция и пусть ABCD - равнобочная трапеция с теми же длинами оснований (рис. 24). Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее точки A,B,C соответственно в A', B', C'. При этом преобразовании прямые AD, BC перейдут в A'D', B'C' (поскольку AD || BC, а параллельность прямых сохраняется). Далее, так как |AD| / |BC| = |A'D'| / |B'C'|, то точка D перейдет в D' (поскольку отношение параллельных отрезков сохраняется). Иначе говоря, трапеция ABCD перейдет в трапецию A'B'C'D'. Следовательно, прямолинейное расположение точек M,N,P,Q сохранится, т.е. в трапеции A'B'C'D' точки M',N',P',Q' также лежат на одной прямой.