Рис. 9

Следующую по важности группу геометрических преобразований плоскости составляют преобразования подобия. Наиболее простое из них – гомотетия. Напомним, что гомотетией с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку A переводит в такую точку A', что

 (рис. 10). Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность снова переводит в окружность. Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в |k| раз: если при гомотетии точки A,B переходят в A'B', то |A'B'| = |k|·|AB|. Из этого вытекает, что гомотетия сохраняет форму (но не размеры) фигур; если, например, k > 1, то фигура F', в которую переходит фигура F при гомотетии с центром O и коэффициентом k, представляет собой увеличенную копию фигуры F (рис. 10), а если 0 < k < 1 - уменьшенную копию.

Рис. 10

Поскольку при гомотетии все длины изменяются в одинаковое число раз, отношение длин не меняется. На этом основаны различные способы оценки расстояний; например, зная длину руки и длину большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к расстоянию до него (на рис. 11 имеем |AB| : |BO| = |A'B'| : |B'O|, откуда, измерив |BO|, можно найти |AB|, а потому и высоту трубы, которая примерно втрое больше |AB|).

Рис. 11

Задача 5. Построить квадрат, вписанный в данный сектор (две вершины квадрата лежат на одном радиусе, третья – на другом, четвертая – на дуге сектора).

Решение. Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ (рис. 12) – два квадрата, вписанные в угол MON. При гомотетии с центром O, переводящей точку B в B₁, (коэффициент этой гомотетии равен k = |OB₁|/|OB|), отрезок AB переходит в отрезок A₁B₁, а потому квадрат ABCD переходит в квадрат A₁B₁C₁D₁ (поскольку углы, а также отношение отрезков сохраняются). Из этого вытекает, что вершины C и C₁, лежат на одном луче, исходящем из точки O. Теперь ясно, что, построив какой-нибудь квадрат ABCD, вписанный в угол MON, и проведя луч OC, мы сможем найти вершину C' искомого квадрата (т.е. точку пересечения луча OC с дугой MN сектора), а затем достроить искомый квадрат (рис. 13).

Рис. 12

Рис. 13

Преобразование f плоскости α называется подобием с коэффициентом k>0, если для любых точек A,B плоскости α расстояние между точками f(A) и f(B) равно k·|AB|. Любое подобие (как и гомотетия – частный случай подобия) сохраняет углы, а также отношение длин, т.е. сохраняет форму фигур. Однако, в отличие от гомотетии, подобие может переводить прямую l в прямую l', не параллельную ей.

На рис. 14 изображены два плана P и P₁, одного и того же участка местности, выполненные в разных масштабах и по-разному лежащие на плоскости. Эти планы представляют собой подобные, но не гомотетичные фигуры; например, прямая AB и соответствующая ей прямая A₁B₁ не параллельны. Чтобы получить план P₁, исходя из плана P, можно поступить так: сначала повернуть план P, чтобы его стороны стали параллельными сторонам плана P₁, а затем применить гомотетию. Иначе говоря, план P₁, подобный P, получается из P при помощи композиции движения (поворота) и гомотетии.

Рис. 14

Указанное обстоятельство является общим, т.е. всякое подобие g представляется в виде композиции h ∘ f, где f - движение, а h - гомотетия. Из этого ясно, что при решении задач методом подобия можно ограничиваться лишь рассмотрением гомотетии (сопровождаемой некоторым движением). Это имеет определенные удобства: вспомните, с каким напряженным вниманием отыскиваются соответственные стороны по-разному расположенных подобных треугольников при выписывании равенства отношений сторон (и с какой легкостью выписываются эти отношения для гомотетичных треугольников).

Задача 6. Стороны треугольника ABC связаны соотношением a² = c(b+c). Доказать, что угол A вдвое больше угла C.

Решение. Пусть D - такая точка прямой AB, что |AD| = b, причем A лежит между B и D (рис. 15). Тогда треугольник ACD - равнобедренный, и потому ∠1 = ∠2; кроме того, |BD| = b + c. При симметрии относительно биссектрисы угла B точки A и C перейдут в такие точки A' и C', что |BA'| = |BA| = c, |BC'| = |BC| = a; кроме того ∠3 = ∠4. Равенство a² = c(b+c) можно переписать в виде

(b + c)/a = a/c, т.е. |BD|/|BC| = |BC'|/|BA'|,

откуда следует, что при гомотетии с центром B и коэффициентом k = |BD|/|BC'| точки D,C переходят в C',A'. Следовательно DC||C'A' и потому ∠2 = ∠4, т.е. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4. Так как BAC - внешний угол треугольника ACD, то он равен сумме углов ∠1  и ∠2 , т.е. равен удвоенному углу C.

Рис. 15

В заключение рассказа о преобразованиях подобия заметим, что они составляют группу преобразований и потому (см. Геометрия) согласно Эрлангенской программе определяют «свою» геометрию. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами, которые сохраняются при всех преобразованиях подобия и изучаются в геометрии подобий) являются угол, отношение длин двух отрезков, параллельность двух прямых и т.д. Хотя длина отрезка уже не сохраняется, но в силу сохранения отношения длин в геометрии подобий можно говорить о равнобедренном треугольнике (т.е. о треугольнике, в котором отношение длин боковых сторон равно 1). Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сохраняется и в геометрии подобий. Сохраняется также теорема Пифагора (в форме (a/c)² + (b/c)² = 1, где a/c и b/c - отношения длин катетов к длине гипотенузы) и т.п.

Однако не следует думать, что геометрия подобий ничем, кроме формы изложения, не отличается от евклидовой геометрии. Существуют факты, которые отличают эти две геометрии. Например, условимся говорить, что линия L может скользить но себе, если для любых двух точек A,B этой линии найдется преобразование f (принадлежащее группе, задающей рассматриваемую геометрию), которое переводит линию L в себя, а точку A - в B. В геометрии Евклида (т.е. в геометрии, определяемой группой движений плоскости) существуют только два типа связных линий (т.е. состоящих из одного куска), которые могут скользить по себе: прямые и окружности. А в геометрии подобий существуют линии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе; это – логарифмические спирали, определяемые в полярных координатах уравнением ρ = ρ₀e^kφ (рис. 16).

Рис. 16

Еще один необычный факт геометрии подобий мы получим, рассматривая преобразование g = h ∘ r, где r - поворот вокруг точки O на угол φ₀, а h - гомотетия с центром O и коэффициентом k₀ > 0. Пусть ..., A_-2,A_-1,A₀,A₁,A₂... - последовательность точек, переходящих друг в друга при преобразовании g, т.е. g(A_i) = A_i+1 при любом целом i (рис. 17). Эти точки лежат на одной логарифмической спирали, причем для любого целого i угол A_iOA_i+1 имеет одну и ту же величину φ₀. Последовательно соединяя эти точки, мы получим бесконечную ломаную линию ..., A_-2,A_-1,A₀,A₁,A₂..., которая переводится преобразованием g в себя, причем каждая вершина A_i переводится в соседнюю вершину A_i+1.