Так, легко доказать, что по формулам x=4+5t, y = -1-3t (t - любое целое число) находятся все целочисленные решения уравнения 3x + 5y = 7. Формулы для нахождения целочисленных сторон прямоугольного треугольника (т.е. для решения уравнения x² + y² = z²) были известны еще древним индийцам: x = 2uv, y = u² - v², z = u² + v² (u и v - целые числа, u>v).

Решения диофантовых уравнений более высоких степеней, а также систем уравнений давались с большим трудом. Знаменитое уравнение П. Ферма, которое более трехсот лет назад он написал на полях «Арифметики» Диофанта, xⁿ + yⁿ = zⁿ  (n>2) не решено до сих пор (см. Ферма великая теорема).

Даже при n = 3 диофантовы уравнения поддаются решению с большим трудом, причем ответы могут быть совершенно разными. Так, уравнение 3x³ + 4y³ = 5z³ совсем не имеет решений в целых числах, кроме нулевого. Уравнение x³+y³=2z³ имеет конечное число решений в целых числах, которые легко найти. Уравнение x³+y³=9z³ имеет бесконечно много целочисленных решений, однако написать для них формулы далеко не просто.

Правда, оказалось, что кубические уравнения стоят в некотором смысле особняком. В 20-е гг. нашего века английский математик Е. И. Морделл высказал гипотезу, что уравнение более высокой степени, чем 3, должно иметь, как правило, конечное число целочисленных решений. Эта гипотеза была в 1983 г. доказана голландским математиком Г. Фалтингсом. Тем самым подтвердилось, что уравнение Ферма xⁿ + yⁿ = zⁿ при всяком n>2 имеет лишь конечное число решений в целых числах (без общих множителей). Однако пока нет способа найти эти решения.

Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер и Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.

ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП

Этот принцип утверждает, что если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N > n, то, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента. Принцип назван в честь немецкого математика П. Г. Л. Дирихле (1805-1859), который успешно применял его к доказательству арифметических утверждений.

По традиции в популярной литературе принцип Дирихле объясняют на примере «зайцев и клеток»: если N зайцев сидят в n клетках и N > n, то хотя бы в одной клетке сидит более одного зайца. Часто применяют обобщение принципа Дирихле: если зайцев N > nk, то хотя бы в одной клетке сидит более k зайцев. Самая популярная задача на прямое применение принципа Дирихле такова: на Земле живет 3 млрд. человек, у каждого на голове – не более миллиона волос (цифры условные). Нужно доказать, что обязательно найдутся два человека с одинаковым числом волос. А какое число людей с одинаковым числом волос можно гарантировать?

На той же идее основано доказательство того, что при обращении обыкновенной дроби p/q, p < q, q > 0 в десятичную получается или конечная, или бесконечная периодическая десятичная дробь, причем длина периода не превосходит q - 1. Будем делить p на q «уголком» и следить за остатками. Если на каком-то шаге остаток будет нулевым, то получится конечная дробь. Если же все остатки будут отличны от нуля, то не позже, чем на (q - 1)-м шагу начнут повторяться остатки, а вслед за этим – и цифры в частном.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Дифференциальное исчисление – это раздел анализа математического, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применения производных к исследованию свойств функций.

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал – возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.

Будем вслед за итальянским ученым Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Пусть t - время, отсчитываемое от начала падения, a s(t) - пройденное к моменту t расстояние. Галилей экспериментально нашел, что зависимость s(t) имеет следующий простой вид:

s(t) = 1/2 gt²,

где t - время в секундах, а g - физическая постоянная, равная примерно 9,8 м/с2.

Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t)? Ясно, что, зная зависимость s(t), т.е. закон движения падающего тела, мы в принципе должны иметь возможность получить отсюда и выражение для скорости v(t) как функции времени.

Попробуем найти зависимость v от t. Будем рассуждать следующим образом: фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h - небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдет путь, равный s(t + h) - s(t). Если промежуток времени h очень маленький, то скорость тела за время h не успевает заметно измениться, поэтому можно считать, что если h мало, то приближенно

s(t + h) - s(t) ≈ v(t)·h,      (1)

или

причем последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше h (чем ближе величина h к нулю). Значит, величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится стоящее в левой части приближенного равенства (2) отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t + h, когда величина h стремится к нулю.

Сказанное  записывают в виде

Проведем указанные в соотношении (3) вычисления, исходя из найденной Галилеем зависимости

s(t) = 1/2 gt².

Сделаем сначала элементарные вычисления:

s(t+h) - s(t) = 1/2 g(t+h)² - 1/2 gt² = 1/2 g(t² + 2th + h²) - 1/2gt² = gth + 1/2gh²;

а теперь, разделив на h, получаем

Когда h стремится к нулю, второе слагаемое записанной справа суммы тоже стремится к нулю, а первое остается постоянным, точнее, не зависящим от величины h, поэтому в нашем случае

и мы нашли закон

v(t) = gt

изменения скорости свободно падающего тела. Обратите внимание, формула (3) одновременно дает и определение, и правило вычисления значений v(t) мгновенной скорости изменения функции s(t).

Поскольку скорость v(t) сама есть функция времени, то можно было бы поставить вопрос о скорости ее изменения. В физике скорость изменения скорости называется ускорением. Таким образом, если v(t) - скорость как функция времени, то, рассуждая как и при выводе формулы (3), для мгновенного ускорения a(t) в момент времени t получаем выражение