«Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям». Ж. Л. Лагранж

Посмотрим, что дает эта формула для случая свободного падения, в котором, как мы вычислили, v(t) = gt:

v(t+h) - v(t) = g(t+h) - gt = gh,

и, поскольку g - постоянная, то из (4) получается, что a(t) = g, т. е. ускорение свободно падающего тела постоянно и величина g есть та самая физическая постоянная, которая выражает ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Нетрудно заметить полное сходство выражений (3), (4) и понять, что мы нашли общее математическое выражение для мгновенной скорости изменения переменной величины. Конечно, результат вычислений по формулам (3), (4), как мы убедились, зависит от конкретного вида функций s(t) или v(t) но сами операции над этими функциями, которые предписываются правыми частями формул (3), (4), одни и те же.

Обобщая сделанные наблюдения, в математическом анализе уже для любой функции y=f(x) рассматривают важную величину:

которую называют производной функции f.

Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной x; последняя теперь уже не обязана иметь физический смысл времени.

Значение производной f'(x) зависит от значения аргумента x, поэтому, как и в случае скорости, производная f'(x) некоторой функции f(x) сама является функцией переменной x.

Например, если f(x) = x³, то

далее, при h, стремящемся к нулю, величина, стоящая в последних скобках, стремится к нулю, а вся правая часть при этом стремится к значению 3x². Мы нашли таким образом, что если f(x) = x³, то f'(x) = 3x².

В формуле (5) величину h разности (x+h) - x называют приращением аргумента функции и часто обозначают символом Δx (читается: дельта икс), а разность f(x+h) - f(x) обозначают обычно через Δf (или, более полно через Δf(x,Δx)) и называют приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. В этих обозначениях выражение (5) приобретает вид:

или

Таким образом, значение f'(x) производной функции f(x) в точке x - это предел отношения приращения функции Δf(x,Δx), соответствующего смещению Δx от точки x, к приращению Δx аргумента x, когда Δx стремится к нулю.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения, как мы теперь понимаем, дифференцирование – это определение скорости изменения переменной величины.

В дифференциальном исчислении выводятся производные основных элементарных функций. Укажем, например, что производными функций x^α, sin x, cos x являются соответственно функции αx^α-1, cos x и -sin x.

В дифференциальном исчислении выводятся также следующие общие правила дифференцирования:

(cf)' = cf' (вынесение постоянного множителя);

(f₁±f₂)' = f₁' ± f₂' (дифференцирование суммы и разности функций);

(f₁ · f₂)' = f₁'·f₂ + f₁f₂' (дифференцирование произведения функций);

Наконец, справедливо также следующее важное правило дифференцирования сложной функции: если y = f(u), а u = φ(x), то производная функции f(φ(x)) равна f'(u)·φ'(x), или (f(φ(x)))' = f'(φ(x))·φ'(x).

Общие законы дифференцирования существенно облегчают отыскание производных, а для любых комбинаций элементарных функций делают дифференцирование столь же доступной операцией, как и арифметические действия для человека, знающего таблицу умножения.

Например, если f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+ a_nxⁿ  - многочлен, то

f'(x)=(a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x²+... + a_nxⁿ)'=

=(a₀x⁰)' + (a₁x¹)' + (a₂x²)'+... + (a_nxⁿ)'=

=a₀(x⁰)' + a₁(x¹)' + a₂(x²)'+... + a_n(xⁿ)'=

=a₀(0·x^0-1)' + a₁(1·x^1-1)' + a₂(2·x^2-1)'+... + a_n(n·x^n-1)'=

=a₁ + 2a₂x+... + na_nx^n-1)

ИСААК НЬЮТОН

(1643-1727)

В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринити-колледже. Однако чума, бушевавшая в Англии, заставила Ньютона уединиться на своей ферме, в Вулсторпе. «Чумные каникулы» затянулись почти на два года. «Я в то время был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже», - писал Ньютон. Тогда и сделал молодой ученый почти все свои открытия в физике и математике. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Он обнаружил, что 3-й закон Кеплера о связи между периодами обращения планет и расстоянием до Солнца с необходимостью следует, если предположить, что сила притяжения Солнца обратно пропорциональна квадрату расстояния до планеты.

Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулсторпе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г. В. Лейбница назывались дифференциалами. Ньютон вычислил производную и интеграл любой степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» (1670-1671), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основы математического анализа. Ньютон также находит формулу для различных степеней суммы двух чисел (см. Ньютона бином), причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел (см. Ряды). Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях.

Когда Ньютон вернулся в Кембридж в 1666 г., он привез бесчисленные и бесценные результаты своих математических занятий в Вулсторпе. У него пока не было времени привести их в форму, пригодную для публикации, и он не торопится с этим. Дел у него прибавляется, в 1669 г. он получает физико-математическую кафедру. В 1672 г. его выбирают членом Лондонского королевского общества (английской Академии наук).

В 1680 г. Ньютон начинает работу над основным своим сочинением «Математические начала натуральной философии», в котором он задумал изложить свою систему мира. Выход книги был крупным событием в истории естествознания. В ней все величественное здание механики строится на основании аксиом движения, которые теперь известны под названием законов Ньютона.