(k - положительный коэффициент, зависящий от материала тела, знак «минус» потому, что температура убывает).

Это соотношение (1) в виде дифференциального уравнения является математической записью закона охлаждения, которое выражает зависимость между функцией (температурой) и ее производной в один и тот же момент времени. Его также называют математической моделью рассматриваемого процесса.

Решить дифференциальное уравнение – значит найти все функции y(t), которые обращают уравнение в тождество. Все решения приведенного выше дифференциальною уравнения даются формулой

y=Ce^-kt

(где C - произвольная постоянная), которая представляет собой его общее решение. Нахождение решения дифференциального уравнения всегда связано с операцией интегрирования, поэтому вместо слова «решить» часто употребляется глагол «проинтегрировать» (дифференциальное уравнение).

В процессе охлаждения тела, который мы рассматриваем, нас интересует лишь то решение, которое в момент времени t=0 принимает значение y₀. Подставляя в приведенную выше формулу t=0, находим: C=y₀. Значит, закон охлаждения окончательно можно выразить так:

y(t) = y₀e^-kt.

Как видим, температура тела с течением времени понижается по показательному (экспоненциальному) закону и стремится к температуре окружающей среды (рис. 1).

Рис. 1

Условие y(0)=y₀ принято называть начальным, оно позволяет из бесконечного множества решений выбрать единственное.

Рассмотренное дифференциальное уравнение (1) выражает тот факт, что скорость изменения функции пропорциональна (с коэффициентом - k) самой функции. Такая зависимость наблюдается и в других явлениях природы, например падение атмосферного давления в зависимости от высоты над уровнем моря пропорционально величине давления. Еще пример радиоактивный распад: скорость уменьшения массы радиоактивного вещества пропорциональна количеству этого вещества. Следовательно, атмосферное давление y как функция высоты t над уровнем моря и масса радиоактивного вещества y как функция времени t удовлетворяют уравнению (1). Как видим, одно и то же дифференциальное уравнение может служить математической моделью совершенно разных явлений.

Рассмотрим небольшой шарик массой m, к которому прикреплена горизонтально расположенная пружина. Другой ее конец закреплен (рис. 2). Направим ось Ox вдоль оси пружины, за начало координат примем положение равновесия шарика. Если немного сместить шарик вдоль оси, то возникнет упругая сила F, стремящаяся вернуть его в положение равновесия. По закону Гука, эта сила пропорциональна смещению x, т.е. F=-kx (k - положительная константа, характеризующая упругие свойства пружины, знак «минус» ставится потому, что сила восстанавливающая). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело массой m, равна произведению массы на ускорение a:

F=ma.

Рис. 2

Если же x(t) - положение шарика в момент времени t, то его ускорение выражается второй производной x"(t). Таким образом, движение шарика под действием упругих сил можно выразить дифференциальным уравнением

mx"(t)=-kx(t),

которое чаще записывается в виде

x"(t)+ω²x(t)=0, где ω²=k/m.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Можно доказать, что любое его решение может быть записано в виде

x(t)=Acos(ωt+φ),

здесь A и φ  - произвольные постоянные. Движения, характеризуемые таким уравнением, называются гармоническими колебаниями. Они представляют собой периодическое движение (рис. 3) с периодом T=2π/φ; величина A называется амплитудой колебания.

Рис. 3

Очевидно, что дифференциальное уравнение x"(t)+ω²x(t)=0 не вполне определяет движение шарика. Оно зависит от того, на какую величину x₀ шарик был смещен в момент времени t=0 и с какой скоростью v=x'(0) он отпущен, т.е. зависит от начальных данных. Если, например, скорость была нулевой, то движение шарика будет подчиняться закону

x(t)=x₀ cos ωt.

Полученное нами выше дифференциальное уравнение есть математическая форма записи (математическая модель) закона движения под действием только силы упругости. Если рассмотреть движение шарика в среде, оказывающей сопротивление, и предположить, что кроме сил упругости на шарик действует сила сопротивления, пропорциональная скорости движения, то дифференциальное уравнение такого движения будет иметь вид:

mx"(t)+cx'(t)+kx(t)=0.

Решения этого уравнения уже не являются периодическими функциями, а представляют собой колебания с изменяющейся амплитудой, так называемые затухающие колебания (рис. 4).

Рис. 4

Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; таковы рассмотренные выше уравнения. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него. Как видим, уравнение dy/dt=-ky первого порядка, уравнение x"(t)+ω²x(t)=0 - второго.

Если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит ее частные производные и называется дифференциальным уравнением с частными производными. Такие уравнения описывают, например, колебание мембраны, распространение тепла в некоторой среде, движение спутника.

Дифференциальные уравнения – важный математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике и астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии и экономике, биологии и медицине.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида dy/dt=f(x,t) допускает простую геометрическую интерпретацию. Если x=φ(t) - его решение, то это уравнение в каждой точке кривой x=φ(t) задает значение производной dx/dt, т. е. значение тангенса угла наклона касательной. Таким образом, в каждой точке области определения функции f(x,t) задается угловой коэффициент касательной к решению, как говорят, задается поле направлений. Геометрически поле направлений обычно изображается единичными векторами. На рис. 5 представлено поле направлений дифференциального уравнения dx/dt=t²+x².

Рис. 5

СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ

(1850-1891)

Первая русская женщина-математик С. В. Ковалевская родилась в Москве в богатой семье генерал-лейтенанта артиллерии в отставке Корвин-Круковского. Девочка росла разносторонне способной, но особенно ее увлекала математика. Ее первое знакомство с математикой произошло, когда ей было 8 лет. Для оклейки комнат не хватило обоев, и стены комнаты маленькой Сони оклеили листами лекций М. В. Остроградского по математическому анализу. С. В. Ковалевская вспомнила, что «от долгого ежедневного созерцания внешний вид многих из формул так и врезался в моей памяти...» С 15 лет она начала систематически изучать курс высшей математики.

В то время в России женщинам было запрещено учиться в университетах и высших школах, и, чтобы уехать за границу и получить там высшее образование, С. В. Ковалевская вступила в фиктивный брак с молодым ученым-биологом В. О. Ковалевским (со временем этот брак стал фактическим).

В 1869 г. молодые супруги уезжают в Германию, Ковалевская посещает лекции крупнейших ученых, а с 1870 г. она добивается права заниматься под руководством немецкого ученого К. Вейерштрасса. Занятия носили частный характер, так как и в Берлинский университет женщин не принимали.