Равенство (11) и вытекающее из него путем переобозначений соотношение

f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·(x-x₀)    (12)

позволяют приближенно находить значения функции f(x) в точках x, близких к некоторой точке x₀, в которой уже известны значение f(x₀) самой функции и значение f'(x₀) ее производной.

Например, пусть f(x) = x^α и x₀=1. Тогда f(1) = 1^α = 1, f'(x) = αx^α-1, f'(1) = α1^α-1 = α, поэтому, полагая x = 1 + Δ, из (12) находим следующую формулу (1+Δ)^α ≈ 1+α·Δ для приближенных вычислений, справедливую для любых (не только целых) значений α, при условии малости величины Δ. По этой формуле

(1,05)⁷ = (1+0,05)⁷≈ 1+7·0,05 = 1,35.

Важную формулу (12) можно уточнить, если привлечь производные более высоких порядков, которые мы сейчас определим.

Поскольку производная f'(x) функции f(x) сама оказывается функцией аргумента x, то можно поставить вопрос о нахождении производной функции f'(x), т.е. функции (f')'(x), которая обозначается символом f"(x) и называется второй производной исходной функции f(x). Например, если s(t) - закон движения, v(t) = s'(t) - его скорость, а a(t) = v'(t) - ускорение, то a(t) = s"(t) есть вторая производная функции s(t). Вообще можно определить производные любого порядка: n-я производная функции есть производная от ее (n-1)-й производной.

Для обозначения производных порядка n обычно используют символы fⁿ(x) или

Зная производные функции x^α, sin x, cos x, легко проверить по индукции, что производные n-го порядка от этих функций соответственно равны

α(α-1)...(α-n+1)x^α-n,

sin (x + n π/2), cos (x + n π/2).

Теперь вернемся к формуле (12), в которой функция f(x) приближенно заменяется стоящим в правой части многочленом 1-й степени относительно x-x₀. Оказывается, соотношение (12) является частным случаем общего равенства

называемого формулой Тейлора, в котором о величине r_n+1, называемой остаточным членом формулы Тейлора, говорится, например, что ее можно представить в виде:

похожем на вид предыдущих членов формулы, но только здесь fⁿ⁺¹(x) вычисляется не в точке ξ, а в некоторой точке лежащей между x₀ и x.

Но этой информации бывает достаточно для вычислительных целей. Так, если f(x) = sin x, а x₀=0, то вспомнив, что

sin ⁽ⁿ⁾(x) = sin (x+n π/2),

получаем

Значит, если, например, |x| ≤ 1, а n = 6, то |r₇| < 10^-3 и потому, подставив в (13) f^(k)(0) = sin (kπ/2), находим формулу:

sin x ≈x - x³/3! + x⁵/5!,      (15)

позволяющую при любом x из отрезка [-1;1] вычислить значение sin x с точностью, не худшей, чем 10^-3.

Можно проверить, что в рассматриваемом случае r_n+1 → 0 при неограниченном увеличении n, поэтому можно предложить такую запись:

Справа в этом равенстве стоит бесконечно много слагаемых, т.е., как говорят, имеется ряд. Равенство (16) понимается, как и вообще сумма ряда, в том смысле, что при любом значении x разность между sin x и суммой конечного числа взятых по порядку слагаемых ряда стремится к нулю, если количество слагаемых неограниченно увеличивается.

Ценность формул вида (15), (16) состоит в том, что они позволяют заменить вычисление значений сложной функции вычислением значений приближающего ее многочлена. Вычисление же значений многочлена сводится к одним арифметическим операциям, которые, например, можно выполнить на электронной вычислительной машине.

Ряд (16) является частным случаем ряда

который можно написать для любой бесконечно дифференцируемой функции f(x). Он называется рядом Тейлора этой функции (Б. Тейлор (1685-1731) – английский математик). Ряд Тейлора (17) не всегда имеет своей суммой породившую его функцию f(x), поэтому вопрос о сумме ряда Тейлора каждый раз требует определенного исследования, например такого, какое мы сделали выше, оценивая величину остатка r_n+1. Такими рассуждениями можно показать, что

при любом значении x, а равенство

имеет место при |x|<1, если α не целое, и при любом x, если α = n - целое положительное число. Но если α = n, то α(α-1)...(α-m) = n(n-1)...(n-m) = 0 при m > n. Значит, при целых положительных n, в частности, получается соотношение:

известное в математике как бином Ньютона (см. Ньютона бином).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Математический анализ как анализ переменных величин с момента своего появления развивался в тесной связи с естествознанием, и в частности с физикой и механикой. Потребности развития физических наук, необходимость количественного изучения движения и меняющихся процессов привели к возникновению и формированию основных понятий дифференциального исчисления и интегрального исчисления. Понятие дифференциального уравнения – одно из основных. Чтобы разъяснить это понятие, рассмотрим, из чего складывается изучение какого-либо физического процесса. Это – создание физической гипотезы, основанной на эксперименте, математическая форма записи физической гипотезы, математическое решение этой задачи и физическое толкование выводов из ее решения. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученым Г. Галилеем (1564-1642). Впервые его блестяще применил один из создателей математического анализа - И. Ньютон. Математически сформулировать физические законы оказалось возможным лишь с появлением математического анализа и на его языке.

В очень большом числе случаев физические законы описывают некоторые соотношения между величинами, характеризующими изучаемый процесс, и скоростью изменения этих величин. Другими словами, эти законы выражаются равенствами, в которых участвуют неизвестные функции и их производные. Такие равенства называются дифференциальными уравнениями. Они появляются как математическая форма записи ряда физических законов. Изучение процессов, описываемых этими законами, сводится к изучению свойств решений дифференциальных уравнений. Поясним это на примерах.

Пусть тело (например, металлическая пластина), нагретое до температуры y₀, в момент времени t=0 погружается в очень большой сосуд с воздухом нулевой температуры. Очевидно, тело начнет охлаждаться, и его температура будет функцией времени t. Обозначим ее y(t).

Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость изменения температуры тела, т.е. производная dy/dt, пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, в данном случае пропорциональна y(t). Таким образом получаем, что в каждый момент времени справедливо соотношение