1557

>

<

больше

меньше

Т. Гарриот

1631

≡

сравнимость

К. Гаусс

1801

||

параллельность

У. Оутред

1677

перпендикулярность

П. Эригон

1634

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F(x) ее производную F'(x) = f(x). Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции f(x), найти такую функцию F(x), производной которой является функция f(x), т. е. f(x) = F'(x). Такая функция называется первообразной функции f(x).

Значит, обратная дифференцированию операция – неопределенное интегрирование – состоит в отыскании первообразной данной функции.

Заметим, что, наряду с функцией F(x), первообразной для функции f(x), очевидно, будет также любая функция 𝓕(x) = F(x) + C, отличающаяся от F(x) постоянным слагаемым C: ведь 𝓕(x) = F'(x) = f(x).

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию – производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если 𝓕(x) = F'(x) на каком-то промежутке a < x < b, то функция 𝓕(x) - F(x) постоянна на этом промежутке, поскольку ее производная 𝓕'(x) - F'(x) равна нулю во всех точках промежутка.

Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

Первообразные функции f(x) обозначают символом

∫f(x)dx,

где знак ∫ читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида

∫f(x)dx = F(x) + C,    (1)

где F(x) - какая-то первообразная функции f(x) на данном промежутке, а C - произвольная постоянная.

Например, на всей числовой оси

∫ 2x dx = x² + C; ∫cos y dy = sin y + C; ∫sin z dz = -cos z + C.

Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: x,y,z, чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.

Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции 2x, cos y, sin z соответственно.

Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения (1) для неопределенного интеграла:

(∫f(x)dx)' = f(x), d(∫f(x)dx) = f(x)dx, ∫F'(x)dx = F(x) + C, ∫dF(x) = F(x) + C.

Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла:

∫cf(x)dx = c∫f(x)dx

(вынесение постоянного множителя);

∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

(интегрирование суммы); если

∫f(x)dx = F(x) + C,

то

∫f(φ(t))φ'(t)dt = F(φ(t)) + C

(замена переменной).

Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

Найдем закон движения свободно падающего в пустоте тела, исходя из единственного факта, что при отсутствии воздуха ускорение g свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно и не зависит от особенностей падающего тела. Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Пусть s(t) - координата нашего тела в момент t. Нам известно, таким образом, что s"(t) = g и g - постоянная. Требуется найти функцию s(t) - закон движения.

Поскольку g = v'(t), где v(t) = s'(t), то, последовательно интегрируя, находим

Итак, мы нашли, что

s(t) = gt²/2 + C₁t + C₂,      (3)

где C₁ и C₂ - какие-то постоянные. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Значит, есть еще какие-то условия, которые мы пока не использовали; они позволяют среди всех «конкурирующих» законов (3) выбрать тот, который соответствует конкретному движению. Эти условия легко указать, если разобраться в физическом смысле постоянных C₁ и C₂. Если сравнить крайние члены соотношения (2) при t=0, то выяснится, что C₁ = v(0), а из (3) при t=0 получается, что C₂ = s(0). Таким образом, математика сама напомнила нам, что искомый закон движения

s(t) = gt²/2 + v₀t + s₀

вполне определится, если указать начальное положение s₀ = s(0) и начальную скорость v₀ = v(0) тела. В частности, если v₀ = 0 и s₀ = 0, получаем s(t) = gt²/2.

Отметим теперь, что между операцией нахождения производной (дифференцированием) и операцией отыскания первообразной (неопределенным интегрированием) имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, т.е. является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной. Например, первообразная