.    (10)

Рис. 3

В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) a = 0, b = h и f(x) = kx, где k - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную k²x³/3 функции f²(x) = k²x² и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем

,

где S = π(kh)² площадь круга, лежащего в основании конуса.

Рис. 4

В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.

«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям». И. Кеплер

Смысл – там, где змеи интеграла. Меж цифр и букв, меж d и f! В. Я. Брюсов

В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.

Мы хотим вычислить скорость M, до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.

Пусть m - масса тела, M - масса планеты. Кинетической энергии mv²/2, которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии r от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна

,

где G - гравитационная постоянная. Таким образом, эта сила меняется, причем ослабевает по  мере удаления от планеты.

Вычислим работу

, которую нужно совершить, чтобы тело, находящееся на высоте R₀ (считая от центра планеты), поднять на высоту R.

Если бы сила была постоянна, то мы просто умножили бы ее величину на длину R - R₀ пройденного вдоль направления ее действия пути и нашли бы совершенную работу. Но сила меняется, поэтому мы разобьем весь промежуток [R₀;R] точками R₀ = r₀ < r₁ <... <r_n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

на каждом из промежутков [r_i-1;r_i]; сложив элементарные работы

,

получим приближенное значение искомой работы

 на промежутке [R₀;R], а точнее значение  выражается, таким образом, следующим интегралом:

,

в котором роль переменной интегрирования играет r. Величины G,m,M постоянны, а функция r^-2 имеет первообразную -r^-1, зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим

.

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ

(1801-1862)

М. В. Остроградский – русский математик, один из основателей петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (1830).

Остроградский учился в Харьковском университете, но не получил свидетельства об его окончании из-за своих антирелигиозных взглядов. Для совершенствования математических знаний ему пришлось уехать во Францию, где под влиянием П. Лапласа, Ж. Фурье, О. Коши и других видных французских математиков он начал исследования в области математической физики.

Основополагающие работы И. Ньютона и Г. В. Лейбница дали математический аппарат для исследования тех проблем механики и астрономии, которые сводились к функциям одного аргумента (времени). Но целый ряд вопросов физики приводил к рассмотрению функций, зависящих от многих переменных. Необходимость решать задачи, касающиеся функций многих переменных, привела к созданию новой области математики, получившей название теории уравнений математической физики. Развивая методы решения таких уравнений, предложенные в частном случае еще в XVIII в., Ж. Фурье свел их решение к разложению функций в ряды по тригонометрическим функциям. Остроградский рассмотрел подобные задачи для тел, имевших более сложную форму, чем изученные Фурье. Еще в своей первой работе, посвященной распространению волн в сосуде цилиндрической формы, он решил задачу, на которую объявила конкурс Парижская академия наук. А в 1828г. ученый дал общую формулировку метода Фурье и изучил с его помощью колебания газа, упругих пластинок и т.д. М. В. Остроградскому удалось обобщить формулу интегрального исчисления, выведенную в одном частном случае К. Ф. Гауссом.

Физический смысл формулы Гаусса-Остроградского состоит в том, что поток жидкости через замкнутую поверхность тела равен суммарной производительности находящихся внутри нее источников и стоков.

Плодотворно занимался Остроградский теоретической механикой, математическим анализом и т.д. Многие его работы имели прикладную направленность: ученый занимался внешней баллистикой, статистическими методами браковки изделий, участвовал в комиссиях по реформе календаря, по водоснабжению Петербурга. Он был основателем научной школы русских ученых, работавших в области механики и прикладной математики и воспринявших от своего учителя принцип сознательного сочетания теории с практикой.

Много внимания М. В. Остроградский уделял проблемам преподавания математики. Он считал, что главная задача обучения – заинтересовать ребенка, а элементы наук должны излагаться в наиболее доступной и приспособленной к уму ученика форме. Абстрактное же изложение математики отвращает учеников от изучаемой науки. Эти идеи Остроградского легли в основу движения за реформу математического образования в России, начавшегося во второй половине XIX в.

------------------------------------------

Если R увеличивать неограниченно, т.е., как говорят, удалять тело на бесконечность, то, переходя к пределу при R → ∞, получаем

,

где ∞ - символ, читаемый «бесконечность». Если в последней формуле считать, что R₀ - радиус планеты, то

 будет работой, которую надо совершить против сил тяготения, чтобы тело с поверхности планеты ушло в бесконечность.

Полученное для

 выражение можно упростить, если вспомнить другой закон Ньютона F=ma, связывающий силу F и вызванное ею ускорение a тела массы m. Свободно падающее на планету тело у ее поверхности имеет ускорение a = g, вызванное силой притяжения