где R₀ - радиус планеты. Значит,

откуда следует, что

Это и есть формула для подсчета работы, необходимой для выхода из ноля притяжения планеты. Для «ухода» с планеты по инерции нужно иметь вертикальную скорость M, при которой кинетическая энергия mv²/2 тела не меньше или, по крайней мере, равна работе

Таким образом, вторая космическая скорость, получаемая из равенства mv²/2 = mgR₀, выражается в виде

В частности, для Земли g ≈ 10m/c², R₀ ≈ 6400000m, поэтому v ≈ 8000·√2 m/c, или v ≈ 11,2 km/c.

Во всех разобранных до сих пор примерах мы использовали первообразную, чтобы по формуле (7') Ньютона-Лейбница вычислить интересовавший нас интеграл. Но та же формула Ньютона-Лейбница наводит на мысль использовать сам интеграл для нахождения первообразной или, по крайней мере, для выяснения принципиального вопроса о ее существовании. Этого вопроса мы уже коснулись в разделе, посвященном первообразной и неопределенному интегралу. Теперь мы рассмотрим его несколько внимательнее.

Пусть на отрезке [a;b] задана функция f, график которой изображен линией AB на рис. 5. Мы знаем, что площадь всей криволинейной трапеции aABb выражается интегралом (8). Обозначим через 𝓕(x) площадь той ее части, которая лежит над отрезком [a;x].

Рис. 5

Тогда

Здесь мы обозначили переменную интегрирования через t, чтобы не путать ее с x, являющимся в нашем случае верхним пределом интегрирования.

Величина 𝓕(x), очевидно, зависит от точки x ∈ [a;b].

Покажем, что 𝓕(x) - первообразная функции f(x) на отрезке [a;b], т.е. 𝓕'(x) = f(x) при x ∈ [a;b]. В самом деле, как видно из рис. 5,

𝓕(x+h) - 𝓕(x) ≈ f(x)·h,

что равносильно приближенному равенству

При уменьшении величины h точность этого соотношения только улучшается, поэтому

и, значит,

𝓕'(x) = f(x).

Таким образом, интеграл (11) с переменным верхним пределом x дает нам первообразную функции f(x). Среди всех прочих первообразных функции f(x) на отрезке [a;b] эта первообразная выделяется очевидным условием 𝓕(a) = 0. Поскольку интеграл, согласно его определению (6'), можно вычислить с любой наперед заданной точностью, то и значение 𝓕(x) первообразной (11) функции f(x) в любой точке x ∈ [a;b] можно найти сколь угодно точно, даже не интересуясь при этом аналитической записью 𝓕(x) или вопросом о том, является ли 𝓕(x) элементарной функцией.

Существуют простые и очень эффективные численные методы интегрирования – это так называемые квадратурные формулы. Они позволяют на электронных вычислительных машинах за доли секунды получать значения определенных интегралов. Это обстоятельство делает формулу (11) средством отыскания первообразной. Например, современные подводные лодки порой месяцами находятся на большой глубине и перемещаются на огромные расстояния; не имея никакой связи с внешним миром, они тем не менее выходят в точно заданный квадрат. Навигационное оборудование, которое позволяет определять координаты лодки в любой момент, является технической реализацией формулы (11) и основано на таком физическом принципе. Находясь в закрытом движущемся помещении (хорошо звукоизолированном мягком вагоне, самолете и т.д.), мы не ощущаем скорости движения, но зато определенно чувствуем изменение скорости – ускорение. Оно положительно при увеличении скорости, когда масса вдавливает вас в самолетное кресло, и отрицательно при торможении, когда вам могут пригодиться даже пристяжные ремни. Поскольку между ускорением a массы m и вызывающей его силой F имеется прямая пропорциональная зависимость F=ma, величину a ускорения можно объективно измерять, закрепив массу m на свободном конце пружинки, расположенной вдоль направления движения, и соединив жестко второй ее конец, например, с задней стенкой движущегося помещения. Если растяжение и сжатие пружины пропорционально действующей на нее силе, то по величине отклонения массы m от положения равновесия можно узнавать величину a(t) ускорения, происходящего в данном направлении в любой момент времени t.

Если движение начиналось с нулевой начальной скоростью, то, зная a(t), можно по формуле (11) найти сначала скорость v(t) движения, а зная v(t), найти и перемещение s(t) в этом направлении к моменту t, поскольку

Обработка показаний приборов и вычисление этих интегралов выполняется электронной вычислительной машиной. Если есть три датчика ускорения, удерживаемых (например, гироскопами) в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то вы можете в любой момент знать ваше перемещение по каждому из указанных направлений и тем самым определить все три ваши координаты в некоторой системе координат, началом которой является точка старта – база, аэродром, космодром.

КАВАЛЬЕРИ ПРИНЦИП

В XVII в. началась эпоха интегрального исчисления. Математики возвращались к задачам о вычислении площадей криволинейных фигур и объемов «кривых» тел, которыми так успешно занимался в древности Архимед.

Интересовался этим вопросом и итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод «неделимых». Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе. В 1635 г. вышла книга Кавальери «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин».

При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например разрезать на части и составлять новые (см. Равносоставленные и равновеликие фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами.

Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев - «неделимых» или «нитей» (рис. 1) и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами. Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602-1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды (см. Циклоида). В каждый момент времени Роберваль проектировал точку, двигающуюся по циклоиде, на вертикальный диаметр катящегося круга. Получалась новая кривая, которую Роберваль назвал спутницей циклоиды (рис. 2, а). Но потом выяснилось, что это синусоида, и это было первое (1634) появление ее в математике!