Л
Л
Л
И
И
Например, пятый столбец показывает, что утверждение
A
B
A ∨ B
¬A
И
И
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
И
Л
И
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
Составив ее, мы увидим, что это утверждение (шестой столбец) всегда истинно, независимо от истинности утверждений A и B. Это не удивительно – ведь его можно прочитать так: «Если верно или A, или B и A неверно, то верно B». Как говорят, это утверждение является логическим законом, или тавтологией. Именно с таких утверждений мы начали обсуждение предмета математической логики.
Смысл кванторов ∀ и ∃ можно объяснить так. Если A(x) – некоторое утверждение, истинность которого зависит от значения переменной x (например, утверждение «x - четное число»), то утверждение ∀xA(x) гласит, что A(x) верно при всех значениях x, а утверждение ∃xA(x) означает, что найдется такое x, при котором A(x) верно. (В нашем примере первое из этих утверждений ложно, а второе – истинно.) Как и логические связки, кванторы можно использовать для записи логических законов. Например, оба утверждения, приведенные нами в начале статьи в качестве примеров, частные случаи закона
которые получаются, если подставить вместо A(x) утверждение «x – ворона», а вместо B(x) - «x – черная» или вместо A(x) - «x – совершенные», а вместо B(x) - «x – четные».
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Математическая статистика – наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений. Приведем примеры. Из кипы хлопка наугад вытащены пучки и измерены длины попавших в них волокон. Результаты первых 28 замеров (в см) оказались следующими: 2,10; 2,23; 2,14; 2,16; 2,56; 2,05; 2,20; 2,34; 2,18; 1,95; 2,21; 2,46; 2,28; 1,95; 2,54; 2,12; 2,05; 2,15; 2,18; 2,21; 2,34; 2,28; 2,34; 2,20; 2,42; 2,55; 2,12; 2,27. Запись результатов наблюдений в таком виде мало наглядна, занимает много места, и из нее трудно делать выводы. Обычно стремятся данные наблюдений сделать более удобными для восприятия и для последующей обработки. Это особенно важно, когда число наблюдений велико и достигает многих сотен, а то и тысяч. Для этого результаты наблюдений сводят в таблицы. Весь интервал возможных значений разбивают на части (как правило, равной длины) и подсчитывают число наблюдений, попавших в каждый из отрезков. В табл. 1 приведены данные о надое 100 коров. Надой указан в тысячах литров; величина промежутка разбиения – 600 л. Уже беглый взгляд на таблицу показывает, что мало и коров с малым удоем, и коров-рекордисток.
Таблица 1
Группы по надою, тыс.л.
Число коров
1,6-2,2
4
2,2-2,8
14
2,8-3,4
17
3,4-4,0
37
4,0-4,6
15
4,6-5,2
6
5,2-5,8
4
5,8-6,2
3
Наибольшее число коров оказывается в средней части таблицы.
На втором примере мы будем изучать промежутки между временами прибытия судов в морской порт. За некоторый срок прибыло 185 судов. Данные сведены в табл. 2.
Таблица 2
Промежуток между прибытиями, мин
0-4
4-8
8-12
12-16