Рис. 2

Отношение площади к квадрату периметра максимально для круга.

Доказательство неравенств тесно связано с исследованием функций на экстремум (см. Экстремум функции). Чтобы доказать, что максимум какой-то функции f равен M, мы должны указать значения аргументов, при которых функция f равна M, и доказать неравенство f ≤ M. Например, тот факт, что на множестве всех фигур S/P² ≤ 1/(4π), обычно формулируется так: из всех фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг. Это знаменитое изопериметрическое неравенство (доказанное впервые Л. Эйлером) - представитель целого класса геометрических неравенств, различные варианты и многомерные обобщения которых используются в разных отделах математики и ее приложениях.

Важная часть работы математика - доказательство тождественных неравенств, т.е. таких, которые верны при всех значениях входящих в них переменных (или при всех заранее оговоренных допустимых значениях переменных). Иногда это дело несложное - например, чтобы доказать неравенство f > g, где f и g - некоторые функции, удается преобразовать разность f - g так, что становится очевидной ее положительность: a² + b² ≥ 2ab, поскольку (a-b)² ≥ 0; a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca, поскольку (a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 0 .

Но бывает, что для доказательства неравенства приходится использовать весьма тонкие геометрические или аналитические соображения. Как опытному шахматисту помогает знание основных дебютов, так и математику полезно знать некоторые часто встречающиеся классические тождественные неравенства. Среди них - красивые неравенства, в которые переменные входят симметричным образом (см. Средние значения).

Серию таких неравенств дает следующее общее неравенство датского математика И. Йенсена (1859-1925) для выпуклых функций: если f - выпуклая вниз функция на отрезке [a,b] и p₁,p₂,...,p_n - любые положительные числа, то при всех x¹,x²,...,xⁿ из [a,b]

Для выпуклой вверх функции верно обратное неравенство; в частности, при f(x) = log x, p₁ = p₂ =...= p_n = 1/n, x_i > 0  (i = 1,...,n), отсюда получается неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического.

Наглядное объяснение этого неравенства состоит в следующем: если на графике выпуклой вниз функции расположить грузы с произвольными массами p₁,p₂,...,p_n, то центр их масс будет лежать выше графика (рис. 3).

Рис. 3

Центр масс системы грузов имеет координаты

Для получения оценок сумм вида f(1) + f(2) + ... + f(n) применяются метод математической индукции, а также сравнение этой суммы со специально подобранным интегралом. Например, для суммы

h_n = 1 + 1/2 +...+ 1/n

(см. Гармонический ряд) сравнение ее с площадью под гиперболой y = 1/x (рис. 4) дает оценки: ln n < h_n < ln n + 1. Скажем, при n = 1000, отсюда получаем 6,9 < h₁₀₀₀ < 7,91.

Рис. 4

Доказательства непрерывности и дифференцируемости элементарных функций, формул для их производных опираются на некоторые основные неравенства; среди них - неравенства sin x < x < tg x (при 0 < x < π/2), e^x > 1 + x, неравенство Бернулли (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx (при x > -1, натуральном n).

Методы математического анализа, в свою очередь, удобное средство доказательства неравенств для функций от одной переменной. Так, если значения двух функций f(x) и g(x) совпадают при x = a и f'(x) ≤ g'(x) при x ≥ a, то f(b) > g(b) при любом b ≥ a, другими словами, неравенство можно почленно интегрировать. Приведем один пример, показывающий, как это соображение позволяет вычислять с большой точностью sin x.

Поскольку cos x ≤ 1 и (sin x)' = cos x, то при x > 0

Точно так же отсюда получаем последовательно:

1 - cos x ≤ x²/2, т.е. cos x ≥1 - x²/2;

sin x ≥ x - x³/(2·3);

1 - cos x ≥ x²/2 - x⁴/(2·3·4), т.е. cos x ≤ 1 - x²/2 + x⁴/(2·3·4);

sin x ≤ x - x³/(2·3) + x⁵/(2·3·4·5) и т.д.

Таким образом, мы получаем, что sin x заключен между суммой первых k и первых k+1 членов ряда

(где n! = 1·2·...·n)

(при любом k = 1,2,...); точно так же для cos x аналогичные оценки дает ряд

1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ....

Мы говорили выше о способах получения тождественных неравенств. Если же записано какое-то неравенство вида

f(x) > g(x),

где f и g - любые функции, x - переменная, то при некоторых значениях x оно будет верно, при других - нет.

Решить такое неравенство - значит найти множество X всех значений переменной x, при которых оно верно. Задачи на решение неравенств подробно изучаются в школьном курсе. Между решением неравенств и решением уравнений много общего - неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество X решений неравенства, как правило, бесконечно (отрезок, луч, объединение нескольких отрезков). Сделать полную проверку ответа в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к эквивалентному ему неравенству - имеющему в точности то же множество решений. Для этого, опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы. Скажем, можно применить к обеим частям операцию возвышения в куб, но нельзя - операции возвышения в квадрат (если только не известно, что обе части его заведомо положительны); вообще неравенства f < g и F(f) < F(g) эквивалентны, если функция F неубывающая.

Однако если мы умеем решать уравнение f(x) = g(x), то решить неравенство f(x) > g(x), как правило, не представляет труда: в этом помогает «метод интервалов». Будем говорить о неравенстве вида f(x) > 0 (мы можем перенести все члены в левую часть). Пусть функция f определена и непрерывна на всей прямой или на области D, состоящей из нескольких (конечных или бесконечных) отрезков. Так будет для всех элементарных функций. Отметим корни уравнения f(x) = 0; они разбивают область определения функции f на ряд интервалов, в каждом из которых f сохраняет знак. Какой именно знак имеет f(x) в каждом из интервалов, можно выяснить, подставив в f(x) одно (любое) значение x из этого интервала. Остается выбрать те интервалы, в которых f(x) положительно, - это будет искомое множество X.

Например, чтобы решить неравенство

заметим, что знаменатель x³ - 2x + 1 = (x-1)(x² + x - 1) обращается в 0 при x = (-1±√5)/2 и x=1, а вся дробь обращается в 1 при x=0 и x = 2. Остается на каждом из 6 кусочков, на которые делят прямую эти пять точек, найти знак дроби