Геометрический смысл первого из этих утверждений совершенно ясен: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси Ox на другую, то она пересекает эту ось (рис. 5). Разрывная функция этим свойством не обладает, что подтверждается графиком функции на рис. 2, а также свойствами 2 и 3. На рис. 2 функция не принимает значения y₁, хотя оно заключено между f(a) и f(b). На рис. 6 приведен пример разрывной функции y={x} (дробная часть числа x), которая не достигает своего наибольшего значения.

Рис. 5

Рис. 6

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции y=x² и y=2^x непрерывны на любом отрезке [a,b], функция

Сложение, вычитание, умножение непрерывных на одном и том же отрезке функций вновь приводят к непрерывным функциям. При делении двух непрерывных функций получится непрерывная функция, если знаменатель всюду отличен от нуля.

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время непрерывны, и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s=f(t), дает пример непрерывной функции f(t).

С помощью непрерывных функций описывают состояния и процессы в твердых телах, жидкостях и газах. Изучающие их науки - теория упругости, гидродинамика и аэродинамика - объединяются одним названием - «механика сплошной среды».

НЕРАВЕНСТВА

Неравенство - это два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно), ≤(меньше или равно). Запись a>b означает то же, что b<a, так что наличие двух противоположных знаков неравенства просто дополнительное удобство. Неравенства, содержащие знак > или <, называют строгими, а содержащие знак ≥ или ≤ - нестрогими.

Числовое неравенство может быть верным или неверным; например, неравенства 2⁷>5³; 40/77<13/25; √2 ≥ 1,4142; 5≤5; -1≤0 верны, а π > 355/113 неверно. Таким образом, с точки зрения математической логики неравенство является высказыванием. Неравенство с переменными (т.е. неравенство, в запись которого входят буквы, принимающие разные значения) может при одних значениях переменных быть верным, при других - нет. Доказать такое неравенство - значит доказать, что оно выполнено при всех допустимых значениях переменных (такие неравенства называются тождественными). Для неравенства с переменными можно поставить задачу: решить неравенство, т.е. описать множество значений переменных, при которых оно выполнено.

Решая или доказывая неравенства, мы опираемся на основные свойства отношения «больше - меньше» между числами:

(1) отношение неравенства антисимметрично, т.е. для любых различных чисел a,b либо a>b, либо b>a, и транзитивно, т.е. для любых трех чисел a,b,c если a>b и b>c, то a>c;

(2) если a>b, то a+c>b+c при любом c;

(3) если a>b и c>0, то ac>bc.

Из последних двух свойств, связывающих отношение неравенства между числами с арифметическими операциями, именно свойство (3) вызывает наибольшее число ошибок у начинающих: часто забывают, что при умножении на отрицательное число неравенство изменяется на противоположное. Из основных свойств (1), (2), (3) можно вывести все другие: если a<c и c<d, то a+c<b+d (правило почленного сложения неравенств); если 0<a<b, n - натуральное число, то aⁿ<bⁿ и т.п.

При расширении понятия числа - переходя от целых чисел к рациональным, затем к действительным - мы должны определять отношение «больше - меньше» на новом множестве так, чтобы сохранялись основные его свойства. По определению из двух дробей p/q и m/n (с положительными знаменателями q,n) первая больше, если pn>mq; из двух положительных бесконечных десятичных дробей больше та, у которой больше единиц в самом левом из несовпадающих разрядов (при этом не рассматриваются дроби с окончаниями 9999...).

С помощью неравенств задаются основные числовые множества (отрезок a ≤ x ≤ b, интервал a<x<b, луч x>a и т.д.), формулируются определения предела, непрерывной функции, монотонной последовательности и функции, целого ряда других важных понятий. Например, определение выпуклой функции y=f(x) можно сформулировать так: непрерывная функция называется выпуклой вниз, если для всех x₁,x₂ выполнено неравенство

а выпуклой вверх - если верно неравенство противоположного смысла (см. Выпуклые функции); для функции, имеющей производную, это эквивалентно тому, что y = f'(x) - монотонная функция (соответственно неубывающая или невозрастающая, рис. 1).

Рис. 1

Выпуклые функции и их производные

На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств с большим числом переменных (см. Геометрия). Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких-то объектов (скажем, решений уравнения), оценить их количество, провести классификацию. Например, чтобы классифицировать все правильные многогранники, нужно прежде всего вспомнить, какие углы могут иметь правильные многоугольники, и воспользоваться неравенством: сумма величин плоских углов выпуклого многогранного угла не больше 360°.

Эта теорема наряду с самыми первыми геометрическими неравенствами («перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из одной и той же точки к данной прямой», «сторона треугольника меньше суммы двух других сторон», «против большего угла треугольника лежит большая сторона») принадлежит еще древнегреческой математике - она содержалась в знаменитых «Началах» Евклида.

Неравенства - это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики - алгебре и теории чисел (см. Чисел теория), геометрии и топологии, теории вероятностей и теории функций, математической физике и теории дифференциальных уравнений, теории информации и дискретной математике - можно указать фундаментальные результаты, формулируемые в виде неравенств.

Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства. Скажем, решение каких-то практически важных уравнений лишь по счастливой случайности удается найти точно - в виде числа или формулы, а для приближенного решения в математике всегда требуется указать оценку погрешности, т.е. доказать некоторое неравенство. В этом заключается одно из главных отличий между математическим и физическим уровнем строгости: физик готов ограничиться нахождением «порядка величины» там, где математик стремится строго доказать какие-то оценки, т.е. неравенства.

Находя оценку той или иной величины сверху (максимум) или снизу (минимум), т.е. доказывая, что эта величина не больше какого-то числа M (или не меньше m), мы стараемся получить как можно более точный результат: оценку сверху - пониже, снизу - повыше. Самая точная возможная оценка числового множества A сверху обозначается sup A (супремум A). Аналогично определяется самая точная оценка снизу: inf A (инфинум A). Рассмотрим, для примера, отношение площади S многоугольника к квадрату его периметра P. Чем более «округлый» многоугольник, тем величина S/P² больше - в этом легко убедиться на примерах (рис. 2). Точная верхняя грань этого отношения: sup S/P² = 1/(4π). На множестве всех многоугольников эта оценка не достигается - нет такого многоугольника, для которого S/P² в точности равно 1/(4π); а на множестве всех (выпуклых) фигур - достигается, причем только для круга радиуса R это отношение как раз равно πR²/(2πR)² = 1/(4π). Когда величина достигает своего наибольшего значения, вместо sup можно писать max (максимум); соответственно вместо inf писать min (минимум).