x₁ ≈ (1,5+1)/2 = 1,25; x₂ ≈ (-2-2,5)/2 = -2,25.

Для того чтобы при помощи этой номограммы удобно было решать и уравнения с совпадающими корнями, парабола q = 1/4 p² также снабжена пометками. Дело в том, что квадратному уравнению с корнями x₁ = x₂ = a соответствует точка (-2a,a²), лежащая на этой параболе.

Различного рода номограммы широко применяются в разнообразных практических расчетах. Существуют промышленно изготовленные номограммы, например, для вычисления углов установки резца на заточном станке, для определения процентного содержания трех веществ в данной смеси, для расчета скорости течения воды в реках и каналах, для вычисления площадей и объемов, для расчета параметров радиоламп и т.д.

Разработка теории номографических построений началась в XIX в. Первой была создана теория прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Лаланом в 1843 г. Основания общей теории заложил его соотечественник М. Окань в 1884-1894 гг. Советскую номографическую школу создал Н. А. Глаголев (1888-1945). Ему принадлежит большая заслуга в деле организации номографирования инженерных расчетов.

НОРМАЛЬ

Нормаль - прямая, проходящая через заданную точку кривой перпендикулярно касательной к этой кривой (рис. 1). Так, нормалями к окружности будут прямые, идущие по ее радиусам. Уравнение нормали в точке M(x₀,y₀) к кривой на плоскости, заданной уравнением y=f(x), записывается через производную функции в виде

.

Рис. 1

Если рассмотреть нормали к пространственной кривой в данной точке, то они заполнят целую плоскость - плоскость, перпендикулярную к касательной в данной точке; она называется нормальной плоскостью к кривой (рис. 2). Важную роль в приложениях имеет нормаль к поверхности в заданной ее точке - прямая, перпендикулярная касательной плоскости в этой точке (рис. 3). Когда мы говорим о силе трения, то выражаем ее через силу «нормального давления», т.е. давления, направленного по нормали к поверхности. В законе отражения света: угол падения равен углу отражения - рассматриваемые углы являются углами между нормалью в данной точке и направлениями падающего и отраженного лучей (рис. 4).

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

НУЛЬ

Нуль - это целое число, одна из цифр в десятичной системе счисления. Название «нуль» происходит от латинского слова nullus, что означает «никакой». Обозначается нуль знаком 0. Как цифра в записи многозначного числа или десятичной дроби нуль употребляется для обозначения отсутствия единиц определенного разряда (см. Системы счисления). Основное свойство, которое характеризует нуль как число, заключается в том, что любое число при сложении с нулем не меняется. Другие свойства числа нуль: a·0 = 0; a - 0 = 0; если ab = 0, то a = 0 или b = 0.

У нуля своя долгая и интересная история. Уже в поздней вавилонской письменности (V в. до н. э.) был специальный знак

, обозначавший отсутствующий разряд в записи числа. Это - далекий предок нуля. Греческие астрономы переняли у вавилонян шестидесятеричную систему счисления, но вместо клиньев они для обозначения цифр употребляли буквы. При этом для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда они употребляли букву о - первую букву греческого слова «оуден», означающего «ничто». И наконец, запись чисел в десятичной системе с использованием того обозначения нуля, которым мы пользуемся теперь, появилась у индийцев в V-VI вв.

Долгое время нуль не признавали числом. Например, Диофант (III в.) не считал нуль корнем уравнения, так же как математики в средние века. Лишь к XVII в. с введением метода координат нуль начинает выступать наравне с остальными числами, положительными и отрицательными: все они изображаются точками числовой оси.

НЬЮТОНА БИНОМ

Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Формулу для квадрата двучлена (a + b)² = a² + 2ab + b² знали, по-видимому, еще математики Древнего Вавилона, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование (см. Алгебра). Если умножить обе части этой формулы на a+b и раскрыть скобки, то получим:

(a+b)³ = (a²+2ab+b²)(a+b) = a³+a²b+2a²b+2ab²+ab²+b³, т.е. (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³.

Еще один такой шаг приводит к формуле (a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴.

Легко заметить закон образования коэффициентов: коэффициент 4 при a³b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при a²b и a³. Аналогично, коэффициент 6 при a²b² является суммой 3 + 3 коэффициентов при ab² и a²b. По тому же закону получаем и коэффициент 4 при ab³.

Таким образом, коэффициент

 при a^n-kb^k в разложении (a+b)ⁿ равен сумме коэффициентов  и  при a^n-kb^k-1 и при a^n-k-1b^k в разложении (a+b)^n-1, а коэффициенты при aⁿ и при bⁿ равны единице.

Отсюда следует, что коэффициенты

 в равенстве

     (1)

являются членами (n+1)-й строки треугольника Паскаля (см. Паскаля треугольник). Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел

 (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа

являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из n элементов по k (см. Комбинаторика).

В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула (1) обобщается на случай произвольных (дробных и отрицательных) показателей, но при этом получается сумма из бесконечного множества слагаемых. Именно он показал, что при |x|<1