При n = -1 формула (2) превращается в известную формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

1/(1+x) = 1 - x + x² - x³ +...+ (-1)^n-1xⁿ + ....

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В ряде задач математики и ее приложений требуется по известному значению тригонометрической функции найти соответствующее значение угла, выраженное в градусной или в радианной мере. Известно, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечное множество углов, например, если sin α = 1/2, то угол α может быть равен и 30° и 150°, или в радианной мере π/6 и 5π/6, и любому из углов, который получается из этих прибавлением слагаемого вида 360°·k, или соответственно 2πk, где k - любое целое число. Это становится ясным и из рассмотрения графика функции y = sin x на всей числовой прямой (см. рис. 1): если на оси Oy отложить отрезок длины 1/2 и провести прямую, параллельную оси Ox, то она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек. Чтобы избежать возможного разнообразия ответов, вводятся обратные тригонометрические функции, иначе называемые круговыми, или аркфункциями (от латинского слова arcus - «дуга»).

Рис. 1

Основным четырем тригонометрическим функциям sin x, cos x, tg x и ctg x соответствуют четыре аркфункции arcsin x, arccos x, arctg x и arcctg x (читается: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс). Рассмотрим функции arcsin x и arctg x, поскольку две другие выражаются через них по формулам:

arccos x = π/2 - arcsin x, arcctg x = π/2 - arctg x.

Равенство y = arcsin x по определению означает такой угол y, выраженный в радианной мере и заключенный в пределах от - π/2 до π/2, синус которого равен x, т.е. sin y = x. Функция arcsin x является функцией, обратной функции sin x, рассматриваемой на отрезке [-π/2, +π/2], где эта функция монотонно возрастает и принимает все значения от -1 до +1. Очевидно, что аргумент у функции arcsin x может принимать значения лишь из отрезка [-1,+1]. Итак, функция y = arcsin x определена на отрезке [-1,+1], является монотонно возрастающей, и ее значения заполняют отрезок [-π/2, +π/2]. График функции показан на рис. 2.

Рис. 2

При условии -1≤a≤1 все решения уравнения sin x = a представим в виде x = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n = 0,±1,±2,.... Например, если

sin x = (√2)/2, то x = (-1)ⁿπ/4 + πn, n = 0,±1,±2,....

Соотношение y = arctg x определено при всех значениях x и по определению означает, что угол y, выраженный в радианной мере, заключен в пределах

-π/2 < y < π/2

и тангенс этого угла равен x, т. е. tg y = x. Функция arctg x определена на всей числовой прямой, является функцией, обратной функции tg x, которая рассматривается лишь на интервале

-π/2 < x < π/2.

Функция y = arctg x монотонно возрастающая, ее график дан на рис. 3.

Рис. 3

Все решения уравнения tg x = a могут быть записаны в виде x = arctg a + πn, n = 0,±1,±2,....

Заметим, что обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Например, одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция arctg x. Из этого ряда Г. Лейбниц при фиксированном значении аргумента x=1 получил знаменитое представление числа π бесконечным рядом

π = 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...).

ОБЪЕМ

Объем - величина, характеризующая размер геометрического тела. В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, нужно определить объем ящика, коробки. Это несложно подсчитать: объем прямоугольного параллелепипеда определяется как произведение величин длины, ширины и высоты. Все эти измерения должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах.

Ребенок, не знающий формул, может подойти к измерению объема коробки и чисто опытным путем - плотно уложить в нее кубики с сантиметровым ребром. Их число и выразит собою объем коробки в кубических сантиметрах. В основе такого приема лежит правило: объем тела, составленного из непересекающихся тел, равен сумме их объемов.

В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел. Среди них английские меры бушель (36,4 дм³) и галлон (4,5 дм³), меры, когда-то применявшиеся в России, - ведро (12 дм³) и бочка (490 дм³) и др.

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы тел, был долог. Например, в древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. Но только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением (см. Вписанные и описанные фигуры).

Если тело рассечь на части и потом сложить их по-иному, то объем полученного тела будет равен объему исходного (см. Равновеликие и равносоставленные фигуры). Этим правилом пользуются, отыскивая формулы объемов различных тел. Например, наклонный параллелепипед можно разбить на части и перекомпоновать их таким образом, чтобы получился прямоугольный параллелепипед. Отсюда следует, что объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

Применяют при вычислении объемов и принцип Кавальери (см. Кавальери принцип). В этом случае рассматриваются два тела. Они рассекаются плоскостями, параллельными некоторой данной плоскости и равноотстоящими от нее. Если оба получившихся сечения каждый раз будут одинаковы по площади, то будут равны и объемы обоих тел. На основании этого принципа нетрудно вывести формулу для объема призмы и шара.

Объемы сложных тел можно отыскивать, вписывая в них более простые тела. Например, определяя объем пирамиды, можно вписать в нее стопку призм и подсчитать их суммарный объем, затем вписать стопку призм, имеющих меньшую высоту, и вновь подсчитать их суммарный объем и т.д. Повторяя эту процедуру неограниченное число раз и устремляя к нулю высоту вписываемых призм, нетрудно получить в пределе известную формулу для объема пирамиды. Объем цилиндра можно определить похожим способом, вписывая в него призмы, у которых в основании лежат многоугольники со все увеличивающимся числом сторон. Вписывая такие же многоугольники в основание конуса и принимая их за основания пирамид, вписанных в конус, нетрудно определить и его объем.

Наиболее общие методы нахождения объемов тел дает интегральное исчисление.

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и линия горизонта, и диск Луны. Математики стали заниматься геометрической фигурой - кругом на плоскости - очень давно.