На рис. 4.2 изображен такой «круговой маятник».

Грузик с массой m движется по кругу. Значит, кроме силы, тяжести mg, на него действует центробежная сила mv²/r, которую мы можем представить и в виде 4π²n²r∙m. Здесь n — число оборотов в секунду. Поэтому выражение для центробежной силы можно записать и так: m∙4π²r/Т². Равнодействующая этих двух сил натягивает нить маятника.

На рисунке заштрихованы два подобных треугольника — треугольники сил и расстояний. Отношения соответствующих катетов равны, значит,

mgT²/m∙4π²r = h/r

или

T = 2π∙√(h/g)

От каких же причин зависит период колебания маятника? Если мы производим опыты в одном и том же месте земного шара (g не меняется), то период колебания зависит лишь от разности высот точки подвеса и точки нахождения груза. Масса груза, как и всегда при движениях в поле тяжести, не сказывается на периоде колебания.

Интересно следующее обстоятельство. Мы изучаем движение вблизи положения устойчивого равновесия. При малых же отклонениях разность высот h мы можем заменить длиной маятника l. Легко проверить это. Если длина маятника 1 м, а радиус отклонения 1 см, то

h = √(10 000 — 1) = 99,995 см.

Различие между h и l в 1 % наступит лишь при отклонении в 14 см. Таким образом, период свободных колебаний маятника для не слишком больших отклонений от положения равновесия равен

T = 2π∙√(l/g)

т. е. зависит лишь от длины маятника и значения ускорения свободного падения в том месте, где производится опыт, но не зависит от величины отклонения маятника от положения равновесия.

Формула T = 2π∙√(l/g) доказана для кругового маятника; а какова же она будет для обыкновенного «плоского»? Оказывается, формула сохраняет свой вид. Доказывать ото строго мы не будем, но обратим внимание на то, что тень грузика, отбрасываемая на стену круговым маятником, колеблется почти так же, как плоский маятник: тень совершает одно колебание как раз за то время, пока шарик опишет окружность.

Использование малых колебаний около положения равновесия позволяет произвести измерение времени с очень большой точностью.

Согласно преданию, Галилей установил независимость периода колебания маятника от амплитуды и массы, наблюдая во время богослужения в соборе за тем, как раскачиваются две огромные люстры.

Итак, период колебания маятника пропорционален корню квадратному из его длины. Так, период колебания метрового маятника в два раза больше периода колебания маятника длиной 25 см. Из формулы периода колебания маятника далее следует, что один и тот же маятник будет колебаться не одинаково быстро на разных земных широтах. По мере продвижения к экватору ускорение свободного падения уменьшается, и период колебания растет.

Период колебания можно измерить с очень большой точностью. Поэтому опыты с маятниками дают возможность очень точно измерять ускорение свободного падения.

Прикрепим к нижней части грузика маятника мягкий грифелек и подвесим маятник над листом бумаги так, чтобы грифель касался бумаги (рис. 4.3).

Теперь слегка отклоним маятник. Качающийся грифелек прочертит на бумаге небольшой отрезок прямой линии. В середине качания, когда маятник проходит положение равновесия, карандашная линия будет пожирнее, так как в этом положении грифелек сильнее нажимает на бумагу. Если потянуть лист бумаги в направлении, перпендикулярном к плоскости колебания, то прочертится кривая, изображенная на рис. 4.3. Нетрудно сообразить, что получившиеся волночки будут расположены густо, если бумагу тянуть медленно, и редко, если лист бумаги движется со значительной скоростью. Чтобы кривая получилась аккуратной, как на рисунке, нужно, чтобы лист бумаги двигался строго равномерно.

Этим способом мы как бы «развернули» колебания.

Развертывание нужно для того, чтобы сказать, где находился и куда двигался грузик маятника в тот или иной момент времени. Представьте себе, что бумага движется со скоростью 1 см/с с момента, когда маятник находился в крайнем положении, например слева, от средней точки. На нашем графике это начальное положение соответствует точке, помеченной цифрой 1.

Через 1/4 периода маятник будет проходить через среднюю точку. За это время бумага продвинется на число сантиметров, равное 1/4Т — точка 2 на рисунке. Теперь маятник движется вправо, одновременно ползет и бумага. Когда маятник придет в правое крайнее положение, бумага продвинется на число сантиметров, равное 1/2Т, — точка 3 на рисунке. Маятник вновь идет к средней точке и попадает через 3/4Т в положение равновесия — точка 4 на чертеже. Точка 5 завершает полное колебание, и дальше явление повторяется через каждые Т секунд или через каждые Т сантиметров на графике.

Таким образом, вертикальная линия на графике — это шкала смещений точки от положения равновесия, горизонтальная средняя линия — это шкала времени.

Из такого графика легко находятся две величины, исчерпывающим образом характеризующие колебание. Период определяется как расстояние между двумя равнозначными точками, например между двумя ближайшими вершинами. Также сразу измеряется наибольшее смещение точки от положения равновесия. Это смещение называется амплитудой колебания.

Развертка колебания позволяет нам, кроме того, ответить на поставленный выше вопрос: где находится колеблющаяся точка в тот или иной момент времени. Например, где будет колеблющаяся точка через 11 с, если период колебания равен 3 с, а движение началось в крайнем положении слева? Через каждые 3 с колебание начинается с той же точки. Значит, через 9 с тело также будет в крайнем левом положении.

Нет нужды поэтому в графике, на котором кривая протянута на несколько периодов, — вполне достаточен чертеж, на котором изображена кривая, соответствующая одному колебанию. Состояние колеблющейся точки через 11 с при периоде 3 с будет такое же, как и через 2 с. Отложив на чертеже 2 см (мы ведь условились, что скорость протягивания бумаги равна 1 см/с, иными " словами, что масштаб чертежа — 1 см равен 1 с), мы увидим, что через 11 с точка находится на пути из крайнего правого положения в положение равновесия. Смещение в этот момент находим из рисунка.

Для нахождения смещения точки, совершающей малые колебания около положения равновесия, не обязательно прибегать к графику. Теория показывает, что в этом случае кривая зависимости смещения от времени представляет собой синусоиду. Если смещение точки обозначить через у, амплитуду через а, период колебания через Т, то значение смещения через время t после начала колебания найдем по формуле

y = α∙sin 2π∙t/T

Колебание, происходящее по такому закону, называется гармоническим. Аргумент синуса равен произведению 2π на t/T. Величина 2π∙t/T называется фазой.

Имея под руками тригонометрические таблицы и зная период и амплитуду, легко вычислить смещение точки и по значению фазы сообразить, в какую сторону точка движется.

Нетрудно вывести формулу колебательного движения, рассматривая движение тени, отбрасываемой на стенку грузиком, движущимся по окружности (рис. 4.4).