Смещения тени мы будем откладывать от среднего положения. В крайних положениях смещение у равняется радиусу круга α. Это амплитуда колебания тени.

Если от среднего положения грузик прошел по окружности угол φ, то его тень отойдет от средней точки на величину α∙sin φ.

Пусть период движения грузика (являющийся, конечно, и периодом колебания тени) есть Т: это значит, что 2π радиан грузик проходит за время Т. Можно составить пропорцию φ/t = 2π/T, где t — время поворота на угол φ.

Таким образом, φ = (2π/T)∙t и y = α∙sin (2π/T)∙t. Это мы и хотели доказать.

Скорость колеблющейся точки также меняется по закону синуса. К такому заключению нас приведет то же рассуждение о движении тени грузика, описывающего окружность. Скорость этого грузика есть вектор неизменной длины v₀. Вектор скорости вращается вместе с грузиком. Представим мысленно вектор скорости как материальную стрелку, способную отбрасывать тень. В крайних положениях грузика вектор расположится вдоль луча света и тени не даст. Когда грузик от крайнего положения пройдет по окружности угол θ, то вектор скорости повернется на тот же угол и его проекция будет равна v₀∙sin θ. Но по тем же основаниям; что и раньше, θ/t = 2π/T, а значит, мгновенное значение скорости колеблющегося тела

v = v₀∙sin (2π/T)∙t

Обратим внимание на то, что в формуле для определения смещения отсчет времени ведется от среднего положения, а в формуле скорости — от крайнего положения. Смещение маятника равно нулю при среднем положении грузика, а скорость колебания — при крайнем положении.

Между амплитудой скорости колебания v₀ (иногда говорят — амплитудным значением скорости) и амплитудой смещения имеется простая связь: окружность длиной 2πа грузик описывает за время, равное периоду колебания Т. Таким образом,

v₀ = 2πа/T и v = 2πа/T∙sin (2π/T)∙t

При всяком колебании около положения равновесия на тело действует сила, «желающая» возвратить тело в положение равновесия. Когда точка удаляется от положения равновесия, сила замедляет движение, когда точка приближается к этому положению, сила ускоряет движение.

Проследим за этой силой на примере маятника (рис. 4.5).

Грузик маятника находится под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Разложим силу тяжести на две составляющие — одну, направленную вдоль нити, и другую, идущую перпендикулярно к ней по касательной к траектории. Для движения существенна лишь касательная составляющая силы тяжести. Она-то и есть в этом случае возвращающая сила. Что касается силы, направленной вдоль нити, то она уравновешивается противодействием со стороны гвоздика, на котором висит маятник, и принимать ее в расчет надо лишь тогда, когда нас интересует вопрос, выдержит ли нить тяжесть колеблющегося тела.

Обозначим через х величину смещения грузика. Перемещение происходит по дуге, но мы ведь условились изучать колебания вблизи положения равновесия. Поэтому мы не делаем различия между смещением по дуге и отклонением груза от вертикали. Рассмотрим два подобных треугольника. Отношение соответствующих катетов равно отношению гипотенуз, т. е.

F/x = mg/l

или

F = (mg/I)∙х.

Величина mg/l во время колебания не меняется. Эту постоянную величину мы обозначим буквой k, тогда возвращающая сила F = k∙x. Мы приходим к следующему важному выводу: возвращающая сила прямо пропорциональна смещению колеблющейся точки от положения равновесия. Возвращающая сила максимальна в крайних положениях колеблющегося тела. Когда тело проходит среднюю точку, сила обращается в нуль и меняет свой знак или, иными словами, свое направление. Пока тело смещено вправо, сила направлена влево, и наоборот.

Маятник служит простейшим примером колеблющегося тела. Однако мы заинтересованы в том, чтобы формулы и законы, которые мы находим, можно было бы распространить на любые колебания.

Период колебания маятника был выражен через его длину. Такая формула годится лишь для маятника. Но мы можем выразить период свободных колебаний через постоянную возвращающей силы k. Так как k = mg/l, то l/g = m/k, и, следовательно*

T = 2π∙√(m/k)

Эта формула распространяется на все случаи колебания, так как любое свободное колебание происходит под действием возвращающей силы.

Выразим теперь потенциальную энергию маятника через смещение из положения равновесия х. Потенциальная энергия грузика, когда он проходит низшую точку, может быть принята за нуль, и отсчет высоты подъема следует вести от этой точки. Обозначив буквой h разность высот точки подвеса и положения отклонившегося груза, запишем выражение потенциальной энергии: U = mg∙(l — h) или, пользуясь формулой разности квадратов,

Но, как видно из рисунка, l² — h² = x², x и h различаются весьма мало, и поэтому вместо l + h можно подставить 2l. Тогда U = (mg/2l)∙x² или

U = k∙x²/2

Потенциальная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия.

Проверим правильность выведенной формулы. Потеря потенциальной энергии должна равняться работе возвращающей силы. Рассмотрим^ два положения тела — x₂ и x₁. Разность потенциальных энергий

Но разность, квадратов можно записать как произведение суммы на разность. Значит,

Но x₂ — x₁ есть путь, пройденный телом, kх₁ и kх₂ — значения возвращающей силы в начале и в конце движения, а (kх₁ + kх₂)/2 равно средней силе.

Наша формула привела нас к правильному результату: потеря потенциальной энергии равна произведенной работе.

Легко заставить колебаться шарик, подвесив его на пружину. Закрепим один конец пружины и оттянем шарик (рис. 4.6).

В растянутом состоянии пружина находится, пока мы оттягиваем шарик рукой. Если отпустить руку, пружина будет сокращаться, и шарик начнет движение к положению равновесия. Так же, как и маятник, пружина приходит в состояние покоя не сразу. По инерции будет пройдено положение равновесия, и пружина начнет сжиматься. Движение шарика замедляется и в какой-то момент он останавливается, чтобы тут же начать движение в обратную сторону. Возникает колебание с теми же типичными признаками, с которыми мы ознакомились, изучая маятник.

При отсутствии трения колебание продолжалось бы без конца. При наличии трения колебания затухают, и при этом тем быстрее, чем больше трение.

Зачастую роли пружины и маятника аналогичны. И та, и другой служат для поддержания постоянства периода в часах. Точный ход современных пружинных часов обеспечивается колебательным движением маленького махового колеса-баланса. В колебание его приводит пружина, которая свертывается и развертывается десятки тысяч раз в сутки.