(4)

  Для амплитуды рассеяния имеет место следующее разложение по парциальным волнам (волнам с определённым орбитальным моментом l):

     (5)

  Здесь P_l (cosJ) — Лежандра многочлен, S_l — коэффициенты разложения, которые зависят от характера взаимодействия и являются матричными элементами S-матрицы (в представлении, в котором она диагональна по энергии, моменту количества движения и проекции момента). Если число падающих на центр частиц с моментом l равно числу идущих от центра частиц с тем же моментом (случай упругого рассеяния), то IS_ll = 1. В общем случае lS_ll £ 1. Эти условия являются следствием условия унитарности S-матрицы. Если возможно только упругое рассеяние, то S_l может быть представлено в виде: S_l = e^2id_l , где d_l — вещественные величины, называемые фазами рассеяния. Если d_l = 0 при некотором l, то рассеяние в состояние с орбитальным моментом l отсутствует.

  Полное сечение упругого рассеяния равно:

     (6)

где

; — парциальное сечение упругого рассеяния частиц с орбитальным моментом l, = 1/k — длина волны де Бройля частицы. При Sl = —1  достигает максимума и равно:

     (7)

при этом d_l = p/2 (резонанс в рассеянии). Т. о., при резонансе сечение процесса определяется де-бройлевской длиной волны

 и для медленных частиц, для которых  >> R, где R — радиус действия сил, намного превосходит величину pR² (классическое сечение рассеяния). Этот факт (непонятный с точки зрения классической теории рассеяния) является следствием волновой природы микрочастиц.

  Поведение сечения рассеяния вблизи резонанса определяется формулой Брейта — Вигнера:

,     (8)

где E — энергия, при которой сечение достигает максимума (положение резонанса), а Г— ширина резонанса. При Е = E₀ ± ¹/₂G сечение s_l равно ¹/₂

. Полное сечение всех неупругих процессов равно:

     (9)

  Условие унитарности ограничивает величину парциального сечения для неупругих процессов:

.     (10)

  Для короткодействующих потенциалов взаимодействия основную роль играют фазы рассеяния с l £ b/k, где b — радиус действия сил. Это условие можно переписать следующим образом: l/k £ b; величина l/k определяет минимальное расстояние, на которое может приблизиться к центру сил свободная частица с моментом l (прицельный параметр в квантовой теории). При bk << 1 (малые энергии) следует учитывать только S-волну (парциальную волну с l = 0). Амплитуда рассеяния в этом случае равна:

     (11)

и сечение рассеяния не зависит от угла (рассеяние сферически симметрично). При малых энергиях имеет место разложение:

     (12)

  Параметры а и r называются соответственно длиной рассеяния и эффективным радиусом рассеяния. Эти величины определяются из опыта и являются важными характеристиками сил, действующих между частицами. Длина рассеяния равна по величине и противоположна по знаку амплитуде рассеяния при k = 0. Полное сечение рассеяния в точке k = 0 равно s = 4pa².

  Если у частиц имеется связанное состояние с малой энергией связи, то рассеяние таких частиц при kb << 1 носит резонансный характер (типичный пример — рассеяние нейтронов протонами в состоянии с полным спином J = 1; в этом состоянии у системы нейтрон — протон имеется уровень, соответствующий связанному состоянию — дейтрону). Сечение рассеяния в этом случае зависит только от энергии связи.

  Если параметр kb невелик, фазы рассеяния могут быть найдены из измеренных на опыте значений сечения и др. величин. Эта процедура называется фазовым анализом. Найденные путём фазового анализа фазы рассеяния сравниваются с предсказаниями теории и позволяют, т. о., получить важную информацию о характере взаимодействия.

  Один из основных приближённых методов теории рассеяния — теория возмущений (метод решения, основанный на разложении в ряд по малому параметру). Если падающая плоская волна, описывающая начальные частицы, слабо возмущается потенциалом взаимодействия, то применимо т. н. борновское приближение (первый член ряда теории возмущений). Амплитуда упругого рассеяния в борновском приближении равна:

     (13)

где q = 2ksin (J/2), V (r) — потенциал взаимодействия, m = m₁m₂/(m₁ + m₂) — приведённая масса (m₁ и m₂ — массы частиц).

  Для описания процессов рассеяния при высоких энергиях используются методы квантовой теории поля. Например, упругое рассеяние электронов (е) протонами (р) в низшем порядке теории возмущений (применимость теории возмущений в данном случае основывается на малости постоянной тонкой структуры a » ¹/₁₃₇, характеризующей «силу» электромагнитного взаимодействия) обусловлено обменом фотоном между электроном и протоном (Фейнмана диаграмма, рис. 2). В выражение для сечения этого процесса входят зарядовый (электрический) и магнитный формфакторы протона — величины, характеризующие распределение электрического заряда и магнитного момента протона (электромагнитную структуру протона). Информация об этих важнейших характеристиках протона может быть получена, следовательно, непосредственно из измеренных на опыте значений сечения упругого рассеяния электронов протонами. При достаточно высоких энергиях наряду с упругим ер-рассеянием становятся возможными неупругие процессы образования частиц. Если на опыте регистрируются только электроны, то тем самым измеряется сумма сечений всех возможных процессов.

  Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 3 изд., М., 1974 (Теоретическая физика, т. 3); Давыдов А. С., Квантовая механика, 2 изд., М., 1973; Гольдбергер М., Ватсон К., Теория столкновений, пер. с англ., М., 1967; Мотт Н., Месс и Г., Теория атомных столкновений, пер. с англ., М., 1951; Ситенко А. Г., Лекции по теории рассеяния, К., 1971.