Решения

9.1. Пользуясь зрительным эффектом состоящим в загораживании двух колышков третьим, стоящим на общей с ними прямой, нетрудно установить еще один колышек в некоторой точке С на продолжении отрезка с концами в двух данных точках A и В. После этого точки отрезка АВ можно построить с помощью того же эффекта, поскольку они будут лежать на продолжении либо отрезка АС, либо ВС (в зависимости от того, какая из точек - А или В - находится ближе к точке С). Вообще, любая точка прямой АВ будет лежать на продолжении хотя бы одного из отрезков АВ, АС или ВС.

9.2. Пользуясь зрительным эффектом, указанным в решении задачи 9.1, легко найти точку пересечения прямых в том случае, если сразу ясно, что она лежит на продолжениях своих отрезков с концами в данных точках. В противном случае достаточно сначала проложить одну или обе прямые так, чтобы на каждой из них с одной стороны от предполагаемой точки пересечения были отмечены по две точки.

9.3. Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Для этого понадобится измерить в подходящих единицах длины расстояние между точками А и В.

9.4. Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку D на расстоянии АВ от точки В (рис. 8). Продолжим прямую CD за точку С и отложим на ней точку Е на расстоянии CD от точки С. Тогда отрезок АЕ будет параллелен отрезку ВС, являющемуся средней линией треугольника ADE. Заметим, что предложенный способ выгодно отличается от множества других способов, опирающихся на измерение углов или на деление отрезка пополам.

Рис. 8

9.5. Возьмем какую-либо точку С, не лежащую на прямой АВ. Продолжим прямую ВС за точку С и отложим на ней точку D на расстоянии 2ВС от точки С (рис. 9). Продолжим прямую AD за точку А и отложим на ней точку Е на расстоянии AD от точки А. Искомая середина F отрезка АВ лежит на его пересечении с прямой ЕС. Действительно, отрезок СЕ параллелен отрезку AG - средней линии треугольника CDE (здесь G - середина отрезка CD). Так как, кроме того, BC = CG, то CF - средняя линия треугольника ABG, откуда AF = FB.

Рис. 9

Быть может, приведенный способ нахождения середины отрезка покажется вам не самым простым. Однако его преимущества хорошо проявляются в следующей задаче, решив которую вы сможете делить отрезок не только на две, но и на любое число равных частей.

9.6. Построение точки F, делящей отрезок А В в отношении AF:BF = KL:MN, произведем аналогично построению середины отрезка АВ, описанному в решении задачи 9.5. Отличие будет состоять только в том, что точку С выберем на расстоянии KL от точки В, а точку D - на расстоянии 2MN от точки С (рис. 9). В этом случае прямая ЕС по-прежнему будет параллельна отрезку AG, а значит, разделит отрезок АВ в том же отношении, в котором она делит отрезок BG.

9.7. Выберем на одной стороне данного угла (рис. 10) точки В и С, а на другой - точки D и Е так, чтобы выполнялись равенства

AB = BC = AD = DE.

Рис. 10

Найдем точку О пересечения прямых BE и CD. Тогда прямая АО будет искомой биссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике АСЕ биссектриса AF является одновременно и медианой, а значит, проходит через точку О пересечения медиан ЕВ и CD.

9.8. Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Кроме того, отложим на том же расстоянии от точки В еще две точки D и Е в двух разных, но не противоположных направлениях (рис. 11). Найдем точку F пересечения прямых АЕ и CD, а также точку G пересечения прямых AD и СЕ.

Рис. 11

Прямая FG перпендикулярна прямой АВ. Действительно, точки А, Е, D и С равноудалены от точки В, т. е. лежат на одной окружности с центром В и диаметром АС. Следовательно, вписанные углы ADC и АЕС прямые, поэтому AD и СЕ - высоты треугольника AFC. Так как все три высоты этого треугольника пересекаются в одной точке G, то прямая FG перпендикулярна стороне АС. Для того чтобы проложить перпендикуляр к прямой АВ через данную точку Я, достаточно теперь проложить через эту точку прямую, параллельную прямой FG (см. задачу 9.4).

9.9. Проложим перпендикуляр к прямой АВ (см. задачу 9.8), пересекающий в какой-то точке луч АВ. Без ограничения общности считаем для удобства, что эта точка пересечения и есть точка В. На перпендикуляре по разные стороны от точки В отложим точки С и F (рис. 12), удаленные от точки В на расстояние АВ. Тогда угол ВАС равен 45° (из равнобедренного прямоугольного треугольника ABC). На прямой AF отложим точку G на расстоянии АВ от точки А, а затем на прямой ВС отложим точку D на расстоянии CG от точки В. Тогда угол BAD равен 60Q, так как по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABC, ACG и ABD имеют место равенства

Рис. 12

Для построения точки Е теперь остается проложить биссектрису угла BAD (см. задачу 9.7).