16.16. Пусть вершины треугольника ABC лежат в узлах сетки, а угол ABC не равен 90°. Так как в этой ситуации невозможно, чтобы одна из сторон А В или ВС этого угла имела горизонтальное направление, а другая вертикальное, то без ограничения общности можно считать, скажем, вертикальное направление не занятым ни одной из указанных сторон. Поэтому тангенсы углов, образованных лучами ВА и ВС с некоторым горизонтальным лучом BD (рис. 81), окажутся определенными (ведь ни один из углов ABD и CBD не является прямым) и к тому же рациональными числами, так как и вертикальные, и горизонтальные проекции отрезков АВ и ВС имеют целую длину. Обозначив α = tg ∠ ABD, β = tg ∠ CBD, получаем, что тангенс угла ∠ ABC = ∠ ABD - ∠ CBD есть также рациональное число (здесь знаменатель 1 + αβ мог бы оказаться равным нулю только в случае прямого угла ABC). Таким образом, доказано, что угол ABC либо прямой, либо имеет рациональный тангенс. Аналогичные утверждения будут верны и для двух других углов треугольника ABC.

Рис. 81

16.17. Пусть прямая проходит через узлы В и С, а повернуть ее нужно вокруг узла В на угол с данным рациональным тангенсом α. Один из способов это сделать состоит в том, чтобы определить по узлам В и С тангенс β угла наклона прямой ВС к горизонтальному (или вертикальному) лучу BD, а затем найти тангенс γ угла наклона искомой прямой к тому же лучу по формуле

Поскольку полученный тангенс будет также рациональным числом (в случае 1 - αβ = 0 искомая прямая должна быть перпендикулярной к прямой BD), то некоторый узел В можно построить по значению у так, чтобы выполнялось равенство tg ∠ ABD = γ. Например, на рис. 81 показано, что получится, если прямую ВС повернуть на угол, тангенс которого равен α = 8: так как , то (знак минус у последнего тангенса означает, что угол ABD тупой).

16.18. Если бы все вершины равностороннего треугольника одновременно лежали в узлах сетки, то, согласно утверждению задачи 16.16, углы при вершинах этого треугольника имели бы рациональные тангенсы; Однако хорошо известно, что это не так: - иррациональное число.

16.19. Все вершины правильного шестиугольника одновременно не могут лежать в узлах сетки, поскольку три его вершины, взятые через одну, являются вершинами правильного треугольника и уже эти три вершины не могут оказаться в узлах (см. задачу 16.18), а тем более все шесть вершин.

16.20. Проведем окружность с центром в узле О сетки и четным радиусом (рис. 82). Тогда две диаметрально противоположные вершины А и D шестиугольника молено взять на горизонтальной линии сетки, проходящей через точку О (рис. 82). Еще две вершины В и F можно взять на вертикальной линии сетки, проходящей через середину H радиуса ОA, и, наконец, последние две вершины С и Е - на вертикальной линии, проходящей через середину G радиуса OD. Точки A, В, С, D, В, F являются вершинами правильного шестиугольника, поскольку угол АОВ равен 60° (из прямоугольного треугольника ВОН с гипотенузой ОВ, вдвое большей катета ОН), аналогично по 60° равны и углы AOF, COD, EOD. Следовательно, равные (симметричные относительно прямой AD) углы ВОС и EOF, в сумме составляющие 360° - 4*60° = 120°, также равны по 60°.

Рис. 82

16.21. Пусть три заданные линии сетки для определенности горизонтальны. Тогда рассмотрим вертикальную линию, которая пересекает их в точках A, В и С (рис. 83). Отложим от точки С по горизонтали точки D и Е так, чтобы выполнялись равенства CD = AB, DE = BC. Затем аналогично отложим от точки Е по вертикали точки F и G, а от точки G по горизонтали точку H, для которой GH = AB. Тогда точки В, D, F, Н являются вершинами квадрата (см. задачу 16.9), причем три из них В, D, H лежат на заданных линиях сетки.

Рис. 83

Для попадания четвертой вершины квадрата на одну из этих трех линий сетки необходимо и достаточно, чтобы средняя из линий была равноудалена от двух крайних, т. е. чтобы на рис. 83 выполнялось равенство АВ = ВС (четвертая вершина может находиться только на средней линии, которая тогда должна содержать диагональ квадрата со всеми вытекающими отсюда последствиями).

16.22. Докажем, что ни при каких значениях п, кроме л=4, правильный я-угольник не может иметь все вершины в узлах сетки. Случаи n = 3 и n = 6 рассмотрены в задачах 16.18 и 16.19. Пусть некоторый правильный n-угольник при n = 5 или n>6 все же удовлетворяет требованию задачи. Проведем в нем все; диагонали, соединяющие каждые две вершины, между которыми находятся ровно две вершины n-угольника (рис. 84). Тогда внутри рассматриваемого многоугольника образуется меньший, тоже правильный n-угольник, ограниченный проведенными диагоналями. При этом вершины меньшего многоугольника будут также лежать в узлах сетки, поскольку каждая из них будет являться четвертой вершиной параллелограмма (см. задачу 16.5), образованного некоторыми соседними сторонами большего многоугольника и параллельными им диагоналями: на рис. 84 таким параллелограммом является, например, четырехугольник АВСА'. Применив к меньшему многоугольнику те же рассуждения, мы получим еще меньший многоугольник, затем еще меньший и т. д. Однако этот процесс не может неограниченно продолжаться, так как сторона многоугольника при каждом уменьшении умножается на определенное число, меньшее 1, а значит, рано или поздно станет сама меньше шага сетки, что приведет нас к противоречию. Итак, сделанное выше предположение себя не оправдало.

Рис. 84

16.23. Каждый из искомых прямоугольных треугольников ABC отличается от других тем, что его высота BD, опущенная на гипотезу АС, имеет целую длину z и делит эту гипотезу на целочисленные отрезки AD и DC (рис. 85). Для начала будем считать, что числа x = AD и y = DC взаимно просты, так как любой простой делитель этих чисел является также и делителем числа z² = xy, а значит, числа z (сравните с рассуждениями о пифагоровых тройках в § 7). Если произведение взаимно простых чисел хну есть квадрат какого-то натурального числа z, то и сами числа х и y являются квадратами натуральных чисел. Верной обратное. Поэтому для удовлетворения условия xy = z² необходимо и достаточно в данном случае, чтобы выполнялись равенства х = m² и y = n², где (m, n) = 1. Наконец, если снять требования взаимной простоты чисел хну, то получаются общие формулы для искомых отрезков х, y и высоты z прямоугольного треугольника ABC: х = m²k, y = n²k, z = mnk, где k, m, n - произвольные натуральные параметры, причем числа тип взаимно простые. По каждой такой тройке чисел х, y, z теперь без труда строится нужный нам прямоугольный треугольник.

Рис. 85

16.24. Окружность с центром в узле сетки и радиусом 5 проходит, во-первых, через четыре попарно диаметрально противоположных угла сетки, лежащих на линиях, общих с центром окружности. Кроме того, она содержит по одной вершине от каждого из восьми прямоугольных треугольников с катетами 3 и 4, лежащими на линиях сетки, и с гипотенузой 5, один конец которой совпадает с центром окружности. Любая другая окружность указанного вида, содержащая более 4 узлов сетки, должна иметь радиус, равный гипотенузе прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами. Наименьший такой радиус равен 5 (см. задачу 7.7).

16.25. Как было замечено при решении задачи 16.24, число узлов сетки, лежащих на данной окружности с центром в узле и целым радиусом, полностью определяется количеством пифагоровых троек чисел, большее из которых равно радиусу этой окружности. Если таких троек нет, то число узлов равно 4, а если тройка только одна, то число узлов равно 8, и вообще каждая очередная тройка порождает 8 дополнительных узлов (именно 8, а не 4, поскольку меньшие числа пифагоровой тройки обязательно различны). Так как наименьшее число, участвующее в качестве большего числа сразу в двух пифагоровых тройках, равно 25 (см. решение задачи 7.7, где указаны, в частности, тройки 15, 20, 25 и 7, 24, 25), то искомый наименьший радиус окружности указанного вида, содержащей более 12 узлов сетки, равен как раз 25. Эта окружность проходит сразу через 20 узлов сетки. Ее четверть изображена на рис. 86.

Рис. 86