Рис. 101

17.17. Пусть полоска имеет ровный торец АВ, перпендикулярный краю полоски (рис. 102). Перегнув ее по биссектрисе угла А, мы получим квадрат ABA₁В₁. Перегнув оставшуюся часть полоски с торцом A₁B₁ по биссектрисе угла А₁, мы получим квадрат А₁В₁А₂В₂.

Рис. 102

Действуя в таком же духе и далее, мы найдем точки А₃, В₃, А₄, В₄, А₅, В₅. Теперь обрежем полоску по линиям AА₁ и А₄А₅ и получим параллелограмм AА₁А₅А₄, который можно сложить так, как показано на рис. 103 (полученный при этом квадрат АА₁А₂А₃ даже не будет распадаться).

Рис. 103

17.18. Пусть полоска имеет ровный торец АВ, перпендикулярный краю АЕ полоски (рис. 104). Проведем серединный перпендикуляр к отрезку АВ и перегнем полоску по некоторой линии АС так, чтобы точка В совместилась с какой-то точкой D серединного перпендикуляра. Тогда треугольник ABD равносторонний (ибо AB = AD = BD) откуда ∠ BAD = 60° и ∠ CAE = ∠ DAE + ∠ CAD = (90° - ∠ BAD) + ∠ BAD = 60°. Перегибая полоску по перпендикуляру к краю АЕ, проходящему через точку С, получаем равносторонний треугольник ACB₁. Перегибая полоску по перпендикуляру к краю АЕ, проходящему через точку B₁, получаем равносторонний треугольник СВ₁А₁.

Рис. 104

Действуя в таком же духе и далее, мы найдем точки С₁, В₂, A₂, С₂, В₃, A₃, С₃. Теперь отрежем полоску по линиям AС, A₃С₃ и получим трапецию АСА₃С₃, которую можно сложить так, как показано на рис. 105 (полученный при этом шестиугольник ACA₁C₁A₂C₂ даже не будет распадаться).

Рис. 105

17.19. Заметим, что при перегибании бумажной полоски с параллельными краями по некоторой поперечной линии АЕ внутренние накрест лежащие равные углы AED и EAF (рис. 106) превращаются в односторонние, но по-прежнему равные углы AED и ЕАВ. По этой причине имеем равенства

Рис. 106

В силу параллельности прямых АС и ED, ЕС и АВ, AD и ВС, BE и CD заключаем, что четырехугольники ABCD, АВСЕ, ACDE и BCDE являются трапециями, причем две последние равнобедренными, а четырехугольник BCDO является параллелограммом с одинаковыми высотами (равными ширине полоски), т. е. ромбом. Поэтому имеем

откуда получаем ∠ AED = ∠ CDE, AE = CD, а значит, все стороны пятиугольника ABCDE равны между собой и все его углы одинаковы. Мы доказали, что пятиугольник, образующийся в узле бумажной полоски, правильный.