Рис. 134

Если же выполнено условие б), то около шестиугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его главных диагоналей, а коль скоро сам шестиугольник является еще и равносторонним, то он обязательно правильный (см. задачу 18.21).

18.25. Наименьшее число диагоналей, которое нужно проверить, равно четырем. В том, что трех диагоналей недостаточно, можно убедиться непосредственным перебором различных случаев. Если же в равностороннем шестиугольнике ABCDEF равны четыре неглавные диагонали АС, СЕ, ЕА и BD (рис. 135), то этот шестиугольник правильный. Действительно, углы шестиугольника при вершинах В, С, D и F равны в силу равенства треугольников ABC, BCD, CDE и EFA (по трем сторонам), а углы при вершинах С, Е и А также равны, поскольку они представляют собой одинаковые суммы углов (один из которых есть угол при вершинах С, Е или А равностороннего треугольника АСЕ, а два других являются углами при основаниях одинаковых равнобедренных треугольников АВСУ CDE или EFA). Таким образом, все углы равностороннего шестиугольника ABCDEF равны; следовательно, он правильный.

Рис. 135