Рис. 171

19.87. Пусть требуется провести разрез через вершину А четырехугольника ABCD. Через середину О диагонали BD проведем прямую, параллельную другой диагонали АС, до пересечения со стороной ВС или CD в точке Е (рис. 172). Тогда прямая АЕ делит четырехугольник ABCD на равновеликие части.

Рис. 172

19.88. Приставим один из меньших квадратов к другому и отрежем от них два исходных прямоугольных треугольника, переложив их так, как показано на рис. 173.

Рис. 173

19.89. Если мысленно разрезать данный ящик на два ящика размером 20*15*9 и 20*15*5, то в каждом из них одно измерение будет делиться на 10, другое на 5 и еще одно на 3. Поэтому оба ящика, а значит, и исходный можно заполнить коробками.

19.90. Можно разместить 68 кругов так, как изображено на рис. 174. При этом останется неиспользованной полоска шириной

(последняя величина положительная, поскольку

Рис. 174

19.91. Если бы это было возможно, то в круге радиуса 550 м можно было бы разместить без наложений 125 кружков радиуса 50 м каждый с центрами в скважинах. Но тогда общая площадь этих кружков, равная 125*2500*π м² была бы меньше площади объемлющего круга, равной 550*550π м², что не соответствует истине. Значит, указанное размещение скважин невозможно.

19.92. Если данная точка С не принадлежит окружности, то найдем точки D и Е пересечения прямых АС и ВС с окружностью, а затем точку F пересечения прямых АЕ и BD (рис. 175). Тогда прямая CF представляет собой искомый перпендикуляр.

Рис. 175

Если же точка С лежит на окружности, то проведем какой-либо перпендикуляр к диаметру АВ, пересекающий окружность в точках К и L (рис. 176), а затем найдем точки М и N пересечения прямой CL с диаметром АВ и прямой КМ с окружностью соответственно. Тогда прямая CN будет также перпендикулярна диаметру.

Рис. 176

19.93. Проведя на одинаковых расстояниях (равных ширине h линейки) от сторон данного угла параллельные прямые (рис. 177), мы получим ромб, диагональ которого делит угол пополам.

Рис. 177

19.94. Проведем по одинаковому количеству прямых, параллельных обеим сторонам угла, на расстояниях, кратных ширине h линейки. Соответствующие точки пересечения этих прямых лежат на биссектрисе угла (рис. 178).

Рис. 178

19.95. Проведем прямую, параллельную данному отрезку АВ, и построим треугольник АСВ, стороны АС и ВС которого пересекают прямую в точках D и Е (рис. 179). Тогда, проведя через точку F пересечения прямых АЕ и BD прямую CG, мы разделим отрезок АВ пополам.

Рис. 179

19.96. Используя конструкцию, описанную в решении задачи 19.95, построим два равнобедренных треугольника A₁С₁B₁ и А₂С₂В₂ (рис. 180) и проведем их медианы, на пересечении которых как раз и будет лежать центр окружности.

Рис. 180

19.97. Отложив на данной прямой две точки на расстоянии друг от друга, большем ширины h линейки, приложим двустороннюю линейку так, чтобы оба раза отмеченные точки примыкали к разным сторонам линейки (рис. 181). Проведя четыре соответствующие прямые, получим в пересечении ромб с одной диагональю, лежащей на данной прямой, и с другой диагональю, ей перпендикулярной.

Рис. 181

19.98. Отложим на сторонах угла от его вершины по два отрезка длиной 1 см каждый (см. задачу 9.7 и рис. 10). Соединив четыре полученные точки попарно крест-накрест, мы получим точку биссектрисы (рис. 182).

Рис. 182

19.99. Впишем в данную окружность два прямых угла, которые будут опираться на диаметры (рис. 183). Тогда точка пересечения этих диаметров укажет центр окружности.

Рис. 183

19.100. Построим два прямоугольника с общей стороной, совпадающей с данным отрезком. Тогда, соединив друг с другом точки пересечения их диагоналей, мы найдем середину этого отрезка (рис. 184).

Рис. 184

19.101. Можно сильно приблизить друг к другу вершины исходного прямоугольника, перенеся каждую из них вдоль длинной стороны к ее середине на ширину шоколадки (рис. 185).

Рис. 185

19.102. Проведем какую-либо дугу с центром в данной точке А, чтобы получились две точки В и С пересечения с исходной дугой (рис. 186). Затем найдем точку D, отличную от точки А и равноудаленную от точек В к С. Прямая AD будет искомой.

Рис. 186

19.103. Построим точку С на равном расстоянии от точек А и В и отложим на луче ВС точку В на том же расстоянии от точки С (рис. 187). Тогда угол BAD будет прямым.

Рис. 187

19.104. Положим бумагу на цилиндрический предмет, например на трубу, и, установив одну ножку циркуля на полученной поверхности, проведем на ней циркулем "окружность" (рис. 188). Распрямив затем лист, получим на нем кривую овальной формы.

Рис. 188

19.105. Точки А, В, С, D (первые две точки считаем данными) на рис. 189 лежат на одной прямой, при этом все дуги одинакового радиуса АВ проводятся последовательно с центрами в В, А, Е, F, С, G.

Рис. 189

19.106. По данным концам отрезка А В построим точку С так, как указано в решении задачи 19.105. Затем проведем дугу 2 с центром С и радиусом АС. Наконец, проведем дугу 3 с центром D (рис. 190) и радиусом AD, которая пересечет отрезок АВ в его середине М (если даже отрезок АВ, как таковой, не проведен, точку М можно построить, проведя дополнительно дугу 4 с центром Е).

Рис. 190

19.107. Проведем окружность с центром О и радиусом 1 и, не меняя раствора циркуля, отложим на ней точки А, В, С, D (рис. 191). Тогда расстояние между точками А и С равно , а точка Е пересечения двух дуг с центрами А, D и радиусом удалена от точки О на расстояние

Рис. 191

19.108. Для нахождения центра О данной окружности достаточно провести дугу 1 с центром в некоторой точке А этой окружности (рис. 192), затем еще две дуги 2 и 3 того же радиуса с центрами В и С, далее дугу 4 с центром D и радиусом AD и, наконец, две дуги 5 и 6 с центрами Е и F и радиусом АЕ, которые как раз пересекутся в точке О.

Рис. 192

19.109. Чтобы по данной точке А построить точку В, лежащую на одной прямой с точкой А и вершиной угла, достаточно выбрать точку С и провести последовательно прямые линии 1-7 так, как указано на рис. 193.

Рис. 193

19.110. Пусть надо соединить прямой линией точки А и В, Заметим, что короткой линейкой мы можем продолжать любую прямую по заданному ее участку. Пользуясь этим замечанием, проведем прямые 1, 2 через точку В так, чтобы они прошли близко от точки А. Затем из некоторой точки С выпустим достаточно густой пучок прямых: на рис. 194 это прямые 3-13. Далее проведем прямые 14-17 и найдем точку D, затем аналогично точки Е, F, G, H, которые все будут лежать на прямой АВ и позволят построить эту прямую короткой линейкой.

Рис. 194

19.111. Через некоторую точку данной прямой проведем две прямые 1, 2, а через некоторую точку А проведем четыре прямые 3-6 так, как показано на рис. 195. Выбрав на данной прямой удобную точку В, проведем последовательно прямые 7-12. Тогда точки пересечения прямых 9, 10 и прямых 11, 12 будут лежать на продолжении данной прямой за кляксу.

Рис. 195

© Издательство "Наука". Главная редакция физико-математической литературы, 1989

Научно-популярное издание

Сергеев Игорь Николаевич

Олеxник Слав Николаевич

Гашков Сергей Борисович

Примени математику

Заведующий редакцией А. П. Баева

Редактор М. М. Горячая

Художник П. И. Чернуский

Художественный редактор Г. М. Коровина

Технический редактор И. Ш. Аксельрод

Корректоры Н. Д. Дорохова, Н. Б. Румянцева

ИБ № 32682

Сдано в набор 26.01.89. Подписано к печати 25.07.89. Формат 84*108 ¹/₃₂. Бумага офс. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 12,6. Усл. кр.-отт. 13,07. Уч.-изд. л. 12,65. Тираж 200 000 экз. Заказ №9-142. Цена 55 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука" Главная редакция физико-математической литературы

117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО "Первая Образцовая типография" Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054 Москва, Валовая, 28

Отпечатано на полиграфкомбинате ЦК ЛКСМ Украины "Молодь" ордена Трудового Красного Знамени издательско-полиграфического объединения ЦК ВЛКСМ "Молодая гвардия". 252119 Киев-119, ул. Пархоменко, 38-44.

MAKE USE OF MATHEMATICS by I. N. Sergeev, S. N. Olehnic, S. B. Gashkov.

A great number of problems are given in the book. They are all of practical character. Methods of fast counting are also considered as well as geometric constructions and measurements carried and with the help of a limited number of tools. The book also deals with methods of finding the most economic means for solving problems in various situations, also problems on mixing of substitunces, cutting up geometric figures, weighing, pouring and so on. All problems are supplied with solutions.

The aim of the book is to teach how to apply mathematical ideas and methods to finding a way out of various complicated situations that may arise.

The book is meant for schoolchildren, teachers and those who are interested in mathematics.

The authors are teachers of mathematics at the Mechanics and Mathematics Department of Moscow University.

They have already published a number of books on mathematics for schoolchildren and college and university students. Some of the books have been published abroad.