Глава 3. Бесконечные алгоритмы

Если наука может достичь своих целей, то и демон Максвелла тоже может достичь своих целей — пробить дыры в самом фундаментальном законе природы, открытом наукой.

В действительности это последствия вопроса, заданного Войцехом Зуреком в 1988 году: если единственная причина, по которой не работает демон Максвелла, заключается в том, что демону приходится тратить огромное количество энергии на то, чтобы забыть все, что он узнал, демон мог бы суммировать свои знания в новой формуле, которая не потребует за забывание высокой платы. Затем он сможет воспользоваться практически всеми преимуществами своего знания мира на молекулярном уровне: он сможет извлекать тепло из ночного мороза — бесплатно. Второй закон термодинамики будет нарушен, вечный двигатель станет возможным — и привычное научное видение мира окажется под угрозой.

Так что, скорее всего, у демона не получится «сжать» свои знания до нескольких простых формул и данных, которые рассказажут всю историю молекул в контейнере, где действует демон.

Но если демон не сможет этого сделать, это наверняка будет не по силам и человеку? Целью науки всегда было создание наиболее краткого из всех возможных описания мира. Но этой краткости, с которой может быть описан мир, есть свой предел. Иначе с демоном Максвелла будут проблемы.

Это следствие вопроса Войцеха Зурека: если мы сможем доказать, что у нас получится описать весь мир в достаточно краткой форме, самое фундаментальное утверждение в нашем восприятии мира будет сломано: нарушится второй закон термодинамики.

Демон Максвелла — это не просто проблема изучения тепла и термодинамики. Демон Максвелла — это проблема для всей нашей космографии — понятие о том, что весь мир может быть детально описан всего лишь несколькими короткими уравнениями почти божественной красоты, является неверным.

Так и есть. Это было доказано в 1930 году в ходе изучения одной из самых базовых задач, лежащих в основе математики. Это было открытие, которое полностью преобразило ситуацию для математиков и логистиков, открытие, которое заставило ученых признать, что они никогда не смогут ничего доказать в этом мире, что человеческое понимание мира будет навсегда состоять только из интуитивных озарений, когда нельзя будет доказать, что люди знают о мире больше, чем могут объяснить через формальные системы.

Это осознание, которое по понятным причинам было названо самым глубоким из всех когда-либо созданных доказательств, касается пределов уверенности человеческого знания, пределов того, что мы в состоянии доказать. Это доказательство того, что все доказать нам не удастся — даже если мы будем знать, что это правда.

Когда математик Курт Гедель опубликовал доказательство своей теоремы в январе 1931 года, он вряд ли осознавал, что это может соотноситься с термодинамикой и невозможностью построения вечного двигателя. Потребовалось еще полстолетия и стало возможным почти с облегчением осознать, что именно теорема Геделя привела к объяснению того, почему не работал демон Максвелла.

Ведь в теореме Геделя мы просто вплотную подходим к самому порогу всех формальных знаний — и, следовательно, в каком-то смысле к единственному точному знанию, которым мы в состоянии обладать: бесконечность истины никогда не получится охватить одной-единственной теорией.

Только сам мир настолько велик, чтобы понять весь мир. Невозможно создать такую карту всего мира, которая включала бы в себя абсолютно все, если только эта карта не будет являться самой территорией — а в этом случае она, конечно, не будет картой.

Современное представление математики о своих собственных основах было уничтожено одним ударом. Мечты об уверенности увяли.

«Wir Mussen Nur Wissen, Wir Werden Wissen». Это заключительная фраза, которую произнес великий математик Давид Гильберт в своей великой лекции, когда его родной город Кенигсберг сделал его почетным гражданином 9 сентября 1930 года. «Мы должны знать. Мы будем знать».

В течение десятилетий Давид Гильберт высказывался в пользу ясных и определенных логических основ математики. В 1900 он перечислил задачи, решение которых позволит взять основы математики под полный контроль. Необходимо было показать, что математическая наука включает в себя связную, непротиворечивую и исчерпывающую логическую систему.

Снова и снова в течение первых десятилетий 20 столетия Гильберт подчеркивал, что подобное абсолютное разъяснение основ математики не за горами и мысль о том, что любая математическая задача может быть решена, имеет под собой основания. «Мы все в этом убеждены!», — сказал он и продолжил описанием мечты математика: «В конце концов, когда мы посвящаем себя решению математической проблемы, нас привлекает именно зов, который мы слышим внутри себя: вот проблема, ищи решение, ты можешь найти его чистой силой своей мысли, так как в математике нет места понятию «ignorabimus» — «не знаем и не узнаем».

В 1930 году, когда Гильберту было 68 лет, он ушел с поста профессора в Готтингене, столицы немецкой математики, и одна из наград, которой он был удостоен, стала для него особенно ценой — он стал почетным гражданином своего родного города. Церемония проходила осенью, когда Немецкое общество немецких ученых и физиков собралось на свою 91-ю конвенцию в Кенигсберге, который играл очень важную и особую роль в интеллектуальной истории Германии — именно здесь жил и всю жизнь работал философ Иммануил Кант.

Давид Гильберт решил прочитать по этому случаю большую лекцию по случаю получения этого звания — лекцию, в которой он смог бы провести связь с Кантом, одним из самых великих философов современности — а, возможно, и самым великим. В работе под названием «Naturerkennen und Logik» он высказал прямую, хотя и вежливо сформулированную критику величайшего сына Кенигсберга.

В конце 1700 годов Кант осознал, что человеческое знание базируется на определенном количестве предпосылок, которые предшествуют опыту. Мы можем познавать мир только потому, что наше знание базируется на серии концепций и категорий, таких, как время и пространство, которые сами по себе не могут быть познаны. Мы смотрим на мир через очень специфические рамки, которые мы не можем подвергать сомнениям, так как они сами по себе составляют предпосылку для того, чтобы мы вообще были в состоянии видеть. Кант говорит об априори в знаниях, концепциях и категориях, которые являются предвзятым и необходимым условием для любого понимания.

С этим не согласился Гильберт. «Кант сильно переоценивал роль и размеры априори, — отмечал он по этому поводу. — Теория априори Канта содержит антропоморфический шлак, от которого нужно освободиться. После того, как мы от этого избавимся, останется только то априорное знание, которое является основой чистого математического знания».

Другими словами, его проект заключался в том, чтобы закрепить математику несколькими логическими математическими принципами, из которых все остальное может быть окончательно доказано. Это значило, что логика сможет объяснить большинство из того, что исходит из человеческой интуиции — следовательно, не будет необходимости в априорных знаниях Канта — вещах в нашем понимании, которые не могут найти рационального объяснения. И в окончательном анализе объяснение понимания будет основано на факте, что мы то, что мы есть и мы воспринимаем мир так, как мы это делаем. Гильберт хотел отойти от этого нелогичного априорного знания. Он хотел получить полностью прозрачное объяснение наших знаний.

В 1800-х годах французский философ Огюст Конт стал основоположником позитивизма — философской школы, которая говорит, что нам нужно ограничиться только знанием, которое имеет позитивное подкрепление — то есть может быть получено через опыт или путем логических, или математических доказательств. Все остальное ненаучно. Конт серьезно критиковал Канта.

Но по мнению Гильберта, позитивизм продвинулся не слишком далеко. Он выразил свое мнение по поводу Конта и его обсуждения проблемы нерешаемых задач (что является проблемой для любой философии, которая принимает только знание, правильность которого может быть доказана). Гильберт утверждал: «В попытках дать пример нерешаемой задачи философ Конт однажды сказал, что науке никогда не удастся установить секрет химического состава тел Вселенной. Через несколько лет эта проблема была решена… Истинная причина, почему, по моему мнению, Конт не мог найти нерешаемую задачу, состоит в том факте, что такой вещи, как нерешаемые задачи, не существует».

Нет предела познанию — все может быть понято, и однажды все будет понято. Мы должны знать. Мы будем знать.

В тот день Гильберт пришел на местную радиостанцию. Два кенигсбергских математика позаботились о том, чтобы свои заключения он мог повторить в студии, а его слова могли попасть в эфир и быть записаны для потомства.

Констанс Райд, которая написала хорошую биографию Гильберта, отмечает: «Его последние слова, произнесенные в микрофон, были твердыми и уверенными: «Мы должны знать. Мы будем знать». Когда он поднял глаза от бумаги и техник выключил запись, он засмеялся. Запись, которая была сделана по время последней части его речи в Кенигсберге, все еще существует. И в конце, если слушать очень внимательно, можно услышать, как Гильберт смеется».

Но Гильберт не знал, что в числе слушателей этого обращения был никому не известный 24-летний математик их Вены, который двумя днями ранее, 7 сентября 1930 года в первый раз, скорее всего, без всякой задней мысли в том же самом Кенигсберге рассказал своим друзьям-математикам о сделанном им открытии — открытии, которое было основано на программе Гильберта об установлении основ математики. Но это открытие полностью разрушало эту программу.