Этим молодым человеком был Курт Гедель. Его упоминание об этом открытии прошло практически незамеченным среди его коллег. Он сделал его на семинаре по эпистемологии науки, который посещали многие великие математики тех дней. Однако важность этого открытия дошла до них только после того, как его теорема была опубликована.

17 ноября Гедель представил статью, в которой содержались сделанные им доказательства, в журнал «Monatshefte fur Mathematik und Physik». Она была опубликована в январе 1931 года, но в рождественский сочельник 1930 года ассистент Геделя Пол Бернейс написал Геделю с просьбой предоставить ему копию для печати. Когда Бернейс рассказал Гильберту о работе Геделя, Гильберт «несколько рассердился». Но он высоко показал себя и как человек, и как ученый в 1939 году, вместе с Бернейсом расширив работу Геделя и добавив в нее несколько важных технических деталей.

На могильном камне Гильберта в Геттингене высечены слова: «Мы должны знать. Мы будем знать». Но он прожил достаточно долго, чтобы понять: на самом деле нам это никогда не удастся.

В 1910-13 годах британский философ и математик Бертран Рассел и математик А.Н. Вайтхед опубликовали работу «Principia mathematica», которая была призвана вывести все математические теории из законов логики. Готовя эту работу, Рассел обнаружил то, что сегодня известно как «парадокс Рассела», который во всех отношениях испортил их общий проект. Выяснилось, что математике свойственны неотъемлемые противоречия: парадоксы появляются в системах, которые во всем остальном являются вполне логичными. Проблемы начались тогда, когда математические величины начали соотноситься сами с собой. Но Рассел считал, что с этой проблемой можно справиться. И очевидно, было найдено красивое техническое решение.

Статья Геделя, написанная в январе 1931 года, носила название «О формально неразрешимых утверждениях в «Principia mathematica» и сходных системах». Другими словами, свое осознание Гедель напрямую связывает с работами Рассела и Вайтхеда.

Бертран Рассел был человеком широких интеллектуальных способностей. Он стал одним из доминирующих философов 20 века, занимаясь почти всеми философскими дисциплинами (и в течение своей жизни принимая очень различные философские позиции). Когда он, как ему казалось, решил все фундаментальные задачи в «Principia mathematica», он оставил математическую логику.

В 1963 году он писал: «Прошло уже 50 лет с тех пор, как я серьезно работал над математической логикой, — и практически единственная работа, которую я с тех пор прочел — это работа Геделя. Я, конечно, понял, что работа Геделя имеет фундаментальное значение — но она меня озадачила. Она заставила меня порадоваться тому, что я больше не занимаюсь математической логикой».

Тем не менее именно благодаря работе Геделя тема столетия действительно начала разворачиваться.

«Я лгу». Это утверждение, парадокс лжеца, преследовало европейскую мысль на протяжении тысяч лет. Если оно истинно, то оно ошибочно — и наоборот. Лжец, который говорит, что он лжет, должен говорить правду: если он лжет, то, когда он говорит, что лжет, на самом деле не лжет.

Существует множество более техничных версии этого парадокса, но смысл у них один: при соотнесении с самим собой возникают сложности. Это касается случаев, когда человек утверждает, что он лжет, а также случаев, когда человек говорит очень кратко. Такие парадоксы отвратительны. Один из них известен как «антиномия Ричарда» и касается он теории множеств.

Гедель уничтожил надежду математической логики изучить утверждения, напоминающие подобные парадоксы — или антиномии, как их предпочитают называть философы. Одно из очень немногих нематематических предложений в его работе 1931 года гласит: «Аналогия этого аргумента с антиномией Ричарда бросается в глаза. Он также тесно связан и с «Лжецом».

Оригинальная идея Геделя заключалась в том, чтобы принять утверждение «Я не могу быть доказан». Если это верно, мы не можем это доказать. Если это неверно, то мы можем это доказать — то есть мы доказали правильность чего-то, что не является правильным. Утверждение может быть верным тогда и только тогда, когда оно не может быть доказано.

Для математической логики это было не очень хорошо — но не потому, что это было парадоксом, противоречием. Проблема скорее заключалась в том, что утверждение «Я не доказуем» верно. Оно значит, что существует истина, которую мы не можем доказать. Существуют истины, к которым мы не можем прийти путем математических или логических доказательств.

Это неформальная версия доказательства Геделя — даже учитывая, конечно, что изначально оно было выражено в значительно менее строгой версии и менее формальных терминах. Гедель показал, что утверждения могут быть закодированы в виде чисел. Следовательно, он перевел проблему с утверждениями, которые опираются сами на себя, в числа, которые «опираются сами на себя».

Это простая, но очень глубокая идея. И она ведет к пониманию того, что логическая система никогда не сможет доказать свою последовательность. Истина или правильность логической структуры или языка никогда не может быть доказана изнутри. Вам нужно находиться вне системы и сказать: «Она последовательна. Она цельная». Последовательность и свобода от противоречий никогда не могут быть доказаны изнутри системы.

Математик Эндрю Ходжес выразил это так: «Особое утверждение Геделя заключалось в том, что так как это невозможно доказать, то в определенном смысле это правда. Но чтобы сказать, что это «правда», необходим наблюдатель, который мог бы взглянуть на систему со стороны. Это невозможно показать, работая внутри аксиоматической системы».

Логика не может обойтись без человека.

«Люди часто воспринимают теорему Геделя как нечто негативное», — писал британский математик Роджер Пенроуз в 1988 году. Осознание Геделя обычно воспринимается как знак всего, чего не может сделать человек. Или, как об этом пишет датская философская литература, она воспринимается как аксиома бессилия. И на самом деле, доказательство Геделя является также и доказательством бессилия. Но не бессилия человека — а бессилия логики.

Мы никогда не сможем избежать необходимости в собственной силе суждений. Гедель доказал, что люди знают больше, чем они могут узнать оттуда, откуда получают знания. Способность понимания сути достигает гораздо большего, нежели любое логическое построение. Теорема Геделя является беспрецедентным вкладом в креативность человеческого мозга.

Но исторические обстоятельства сложились так, что открытие Геделя напоминало о заключениях предыдущей эпохи больше, чем знаменовало собой открытие новой.

Программа Гильберта была не более чем математическим выражением самонадеянности, которая влияла на философию науки на рубеже столетия. Позитивизм Конта осуждал любое знание, которое невозможно получить на основании опыта или логической дедукции. В Вене 20-х годов прошлого века эта философия была усовершенствована и отточена до направления, которое известно, как логический позитивизм. Круг философов и математиков отточили требования позитивизма до требования, что мы должны иметь возможность проверить знание, прежде чем принимать его на веру. Мы должны иметь возможность доказать, что оно верно.

Следствием этого усовершенствования стала смерть позитивизма. Выяснилось, что он противоречил с тем, как естественные науки использовали индукцию, при которой общее знание может быть получено из серии наблюдений. В конце концов никто никогда не знает, нарушит ли следующее явление, которое мы наблюдаем, закон, который только недавно стал известен.

Подобный крах позитивизма не вызвал удивления у Геделя, который посещал встречи в венском кругу: вся его математическая философия была вдохновлена Кантом, который подчёркивал, что мы не можем доказать все, что знаем, но должны принять: оно базируется на основаниях, которые не могут быть доказаны — априорных категориях.

Но Гедель был не просто оппонентом позитивизма. Он был платонистом. Его взгляды на математические числа были частично заимствованы от греческого философа, который вывел философию идей около 400 года до н. э. Идея Платона заключалась в том, что за воспринимаемой нами с помощью органов чувств реальностью лежит еще более реальная реальность, состоящая из фундаментальных принципов, идей, для которых реальность, которую мы воспринимаем, является не более чем подобием. Но эта реальность существует, осознаем мы это или нет.

Эта точка зрения существенно контрастировала с мнением большинства математиков в начале 20 века (но сегодня она получила гораздо более широкое распространение). Давид Гильберт полагал, что математика является своеобразной игрой, которая доказывает свою правильность через формальную последовательность. Бертран Рассел воспринимал математику просто как один из видов прикладной логики. Другие, к примеру, датчанин Лютцен Брауэр, полагали, что математические величины представляли собой усовершенствованную человеческую практику — то есть нашу интуицию.

Но Гедель полагал, что реальность этих величин не имеет ничего общего с тем, можем ли мы доказать их последовательность или то, что они могут быть доказаны логически или применены на практике. Целые числа или другие математические величины существовали «там» задолго до того, как мы осознали их существование.

Эти взгляды Гедель сохранял с середины 20-х годов и на протяжении 30-х годов, когда он получал глубокие результаты в математической логике — один за другим. Он полагал, что эти взгляды являются жизненно важными для его научных достижений. Однако он их не обсуждал. Он не публиковал свои философские воззрения, даже несмотря на то, что философия являлась одним из главных интересов его жизни. Только в 1944 году его взгляды получили широкую огласку — в юбилейном сборнике статей в честь Бертрана Рассела. Математик и философ Соломон Феферман говорил о его статье так: «Гильберт умер в 1943 году, за год до того, как появился Гедель».