121. Но так как есть люди, которые, будучи обмануты ложным блеском открытия абстрактных истин, теряют время над арифметическими теориями и задачами, не приносящими никакой пользы, то не будет лишним более полное рассмотрение и раскрытие тщетности этого притязания; она станет для нас ясной, если мы бросим взгляд на арифметику в ее младенчестве и посмотрим, что первоначально побудило людей к изучению этой науки и к какой цели они его направляли. Естественно думать, что сначала люди для облегчения памяти и как пособие при счете употребляли отметки, а при письме – отдельные черточки, точки и т.п., причем каждый знак обозначал единицу, т.е. известную отдельную вещь любого рода, которую надо было сосчитать. Позднее они сочли удобнее, чтобы один знак заменял собой несколько черточек или точек. И, наконец, вошли в употребление арабские или индийские цифры, какими, путем повторения нескольких немногих знаков или цифр и изменения значения каждой цифры, смотря по занимаемому ею месту, все числа могут быть обозначены самым соответственным образом, что произошло, по-видимому, в подражание языку, так что наблюдается точное сходство между обозначением цифрами и словами, причем девять простых цифр соответствуют первым девяти названиям чисел, а места первых – названиям разрядов последних. И соответственно этим условиям основного и местного значения цифр были придуманы методы находить по данным цифрам или знакам, обозначающим части, какие цифры и в каком расположении способны обозначать целое и наоборот. А когда найдены искомые цифры и то же самое правило или та же самая аналогия наблюдается повсюду, то легко при чтении заменять их словами, и число становится таким образом вполне известным. Ибо число каких бы то ни было отдельных вещей считается известным тогда, когда мы знаем название или цифру числа с их надлежащим расположением, которые соответствуют этому числу, согласно твердо установленной аналогии. Потому что, зная эти знаки, мы можем при помощи арифметических действий узнать знаки любой части обозначенных ими сумм; и таким образом, считая знаками, мы можем вследствие связи, установленной между ними и определенным количеством вещей, из которых каждая принимается за единицу, стать способными правильно их складывать, делить и устанавливать пропорциональность самих вещей, подлежащих счету.

122. Итак, в арифметике мы рассматриваем не вещи, а знаки, которые, однако, подвергаются исследованию не ради их самих, но потому, что они показывают нам, как следует поступать относительно вещей и правильно ими распоряжаться. Но согласно с тем, что уже было замечено нами о словах вообще (§19 Введения), здесь также оказывается, что абстрактные идеи мыслятся обозначаемыми через знаки или названия чисел, так как последние не возбуждают в наших умах идей отдельных вещей. Я не намерен теперь вдаваться в более специальное рассуждение по этому предмету, но замечу только, что из сказанного выше ясно видно, что то, что признается за абстрактные истины и теоремы относительно чисел, в действительности не относится ни к какому предмету, отличному от отдельных исчисляемых вещей, за исключением лишь имен и цифр, которые первоначально рассматривались только в смысле знаков, способных обозначать соответствующим образом все отдельные вещи, подлежащие человеческому счету. Из чего следует, что изучать их ради них самих значило бы поступать так же мудро и с таким же благим намерением, как если бы кто-нибудь, пренебрегая надлежащим употреблением или первоначальной целью и задачами языка, стал тратить свое время на непристойную критику слов или чисто словесные соображения и споры.

123. От числа мы переходим теперь к разговору о протяжении, составляющем предмет геометрии. Бесконечная делимость конечного протяжения, хотя она не выражается прямо ни как аксиома, ни как теорема в принципах этой науки, везде ею предполагается и мыслится в такой неразрывной и существенной связи с принципами и доказательствами геометрии, что математики никогда не подвергают ее сомнению или вопросу. И в той же мере, в какой именно это понятие есть источник, откуда вытекают все те забавные геометрические парадоксы, которые находятся в таком прямом противоречии с обычным человеческим здравым смыслом и лишь с большим сопротивлением принимаются умом, не развращенным ученостью, оно служит главным поводом той чрезмерной утонченности, которая делает изучение математики столь трудным и скучным. Поэтому, если мы окажемся в состоянии показать, что никакое конечное протяжение не содержит бесконечного числа частей или не делимо до бесконечности, то отсюда следует, что мы однажды навсегда освободим науку геометрии от множества затруднений и противоречий, которые всегда считались упреком человеческому разуму, и вместе с тем сделаем изучение ее делом несравненно меньшего времени и труда, чем это было до сих пор.

124. Каждое отдельное конечное протяжение, которое может служить предметом нашего мышления, есть идея, существующая лишь в нашем уме, и, следовательно, любая его часть должна быть воспринимаема. Если поэтому я не могу воспринять бесконечное множество частей в каком-либо конечном, рассматриваемом мной, протяжении, то несомненно, что они в нем не содержатся; но очевидно, что я не в состоянии различить бесчисленное множество частей в отдельной линии, поверхности или теле, воспринимаю ли я их в ощущении или представляю себе в моем уме, из чего заключаю, что они не содержатся там. Ничто не может быть для меня яснее того, что рассматриваемые протяжения суть не что иное, как мои собственные идеи; и не менее ясно, что я не могу разложить какую-либо из своих идей на бесконечное число других идей, т.е. что они не делимы до бесконечности. Если под конечным протяжением подразумевается нечто отличное от конечной идеи, то я объявляю, что не знаю, что это такое, и, следовательно, не могу ни утверждать, ни отрицать чего-либо о нем. Но если термины «протяжение», «части» и т.п. берутся в понятном смысле, т.е. в смысле идей, то сказать, что конечная величина или конечное протяжение состоит из частей бесконечных по числу, есть столь явное и вопиющее противоречие, что каждый с первого взгляда признает его за таковое; и невозможно, чтобы с этим мнением когда-либо согласилось какое-нибудь разумное существо, если только оно не будет подготовлено к нему постепенными незначительными переходами, как новообращенный язычник к вере в пресуществление. Старые и закоренелые предрассудки часто приобретают значение принципов, а такие положения, которые раз приобрели силу и значение принципов, не только сами, но вместе с ними и все то, что может быть из них выведено, считаются изъятыми из исследования. И нет такой бессмыслицы, которая не могла бы быть принята, если ум таким образом к ней подготовлен.

125. Тот, чей ум находится под господством учения об абстрактных общих идеях, легко может быть убежден в том, что (как бы ни мыслить об идеях ощущений) абстрактное протяжение делимо до бесконечности. И всякий, кто полагает, что ощущаемые предметы существуют вне духа, не затруднится утверждать, что линия длиной всего в дюйм может заключать в себе бесчисленное множество частей, которые действительно существуют, хотя слишком малы, чтобы быть различаемы. Эти заблуждения укоренились в умах как геометров, так и прочих людей и оказывают одинаковое влияние на их рассуждения; и было бы нетрудно показать, как доказательства, употребляемые геометрией в подтверждение бесконечной делимости протяжения, основываются на этих заблуждениях. Но об этом, если то окажется необходимым, мы можем найти удобный случай поговорить особо. Теперь мы только в целом укажем, почему все математики так преисполнены этим учением и упорны в нем.