где ch x и sh x — гиперболические косинус и синус (см. Гиперболические функции). Наоборот,

, .

Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:

.

  Т. ф. комплексного аргумента являются аналитическими функциями, причём sin z и cos z — целые функции, а tg z, ctg z, sec z, cosec z — мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z находятся в точках z = p/2 + pn, а ctg z и cosec z в точках z = pn (n = 0, ± 1, ± 2, ¼). Аналитическая функция w = sin z осуществляет конформное отображение полуполосы —p < x < p, y > 0 плоскости z на плоскость w без отрезка действительной оси между точками —1 и +1. При этом семейства лучей х = x и отрезков y = y переходят соответственно в семейства софокусных гипербол и эллипсов. Вдвое более узкая полоса —p/2 < x < p/2 преобразуется в верхнюю полуплоскость.

  Уравнение х = sin y определяет у как многозначную функцию от х. Эта функция является обратной по отношению к синусу и обозначается у = Arc sin x. Аналогично определяются функции, обратные по отношению к косинусу, тангенсу, котангенсу, секансу и косекансу: Arc cos x, Arc tg x, Arc ctg x, Arc sec x, Arc cosec x. Все эти функции называются обратными тригонометрическими функциями (в иностранной литературе иногда эти функции обозначаются sin^—1 z, cos^—1 z и т.д.).

  Т. ф. возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу Т. ф., встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Однако эти соотношения не являются у них самостоятельным объектом исследования, так что Т. ф. как таковые ими не изучались. Т. ф. рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 — 2-я половина 3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30' с точностью до 10^—6. Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin j встречается уже у Ариабхаты (конец 5 в.). Функции tg j и ctg j встречаются у аль-Баттани (2-я половина 9 — начало 10 вв.) и Абуль-Вефа (10 в.), который употребляет также sec j и cosec j. Ариабхата знал уже формулу (sin²j + cos²j) = 1, а также формулы (3), с помощью которых построил таблицы синусов для углов через 3°45'; исходя из известных значений Т. ф. для простейших аргументов

. Бхаскара (12 в.) дал способ построения таблиц через 1 с помощью формул (2). Формулы (4) выводились Региомонтаном (15 в.) и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан дал таблицу значений синуса через 1'. Разложение Т. ф. в степенные ряды получено И. Ньютоном (1669). В современную форму теорию Т. ф. привёл Л. Эйлер (18 в.). Ему принадлежат определение Т. ф. для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией, ортогональности системы синусов и косинусов.

  Лит.: Кочетков Е. С., Кочеткова Е. С., Алгебра и элементарные функции, ч. 1—2, М., 1966; Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969, с. 61—65.

Рис. 2. Графики тригонометрических функций: 1 — синуса; 2 — косинуса; 3 — тангенса; 4 — котангенса; 5 — секанса; 6 — косеканса.

Рис. 1 к ст. Тригонометрические функции.

Тригонометрический знак

Тригонометри'ческий знак в геодезии, сооружение, устанавливаемое на местности в тригонометрических пунктах. Т. з. состоит из двух частей — наружной (см. Сигнал геодезический) и подземной (см. Центр геодезический). Т. з. фиксирует положение тригонометрического пункта, а также служит для установки геодезического инструмента на высоте, обеспечивающей возможность непосредственного визирования на соседние Т. з.

Тригонометрический пункт

Тригонометри'ческий пункт, пункт триангуляции, геодезический пункт, положение которого на земной поверхности определено методом триангуляции. Точное положение Т. п. на местности фиксируется путём закладки в земле специальных сооружения — центра геодезического, и определяется координатами в выбранной системе геодезических координат. Горизонтальные координаты Т. п. вычисляются из триангуляции, а его высота над уровнем моря определяется методами тригонометрического или геометрического нивелирования. Т. п., так же как и полигонометрические пункты, составляют опорную геодезическую сеть, используемую при топографической съёмке и различных геодезических измерениях на местности.

Тригонометрический ряд

Тригонометри'ческий ряд, функциональный ряд вида

 

, (1)

  то есть ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Т. р. записываются в комплексной форме

 

 .

  Числа a_n, b_n или c_n называют коэффициентами Т. р.

  Т. р. играют весьма важную роль в математике и её приложениях. Прежде всего Т. р. дают средства для изображения и изучения функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций. Далее, Т. р., естественно, появляются при решении ряда задач математической физики, среди которых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о распространении тепла и др. Наконец, теория Т. р. способствовала уточнению основных понятий математического анализа (функция, интеграл), вызвала к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория почти-периодических функций), послужила одним из отправных пунктов для развития теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.

  Т. р. впервые появляются в работах Л. Эйлера («Введение в анализ бесконечно малых», 1748; Письмо к Х. Гольдбаху от 4 июля 1744), например: