cosj = sin ( — j); ctgj = tg ( — j);
cosecj = sec ( — j).
Подобно синусу и косинусу, остальные Т. ф. для острых углов могут рассматриваться как отношения сторон прямоугольного треугольника: тангенс и котангенс как отношения катетов (противолежащего к прилежащему и наоборот), а секанс и косеканс как отношения гипотенузы соответственно к прилежащему и противолежащему катетам.
Так как точка С, являющаяся концом дуги j, служит одновременно концом дуг j + 2p, j + 4p, ¼ (2p — длина окружности), то все Т. ф. оказываются периодическими. При этом основным периодом функций sinj, cosj, secj, cosecj является число 2p (угол в 360°), а основным периодом tgj и ctgj — число p (угол в 180°). Графики Т. ф. см. на рис. 2.
Значения Т. ф. одного и того же аргумента связаны между собой рядом соотношений:
sin2j + cos2j = 1,
tg2j + 1 = sec2j; ctg2j + 1 = cosec2j.
Для некоторых значений аргумента значения Т. ф. могут быть получены из геометрических соображений (табл.).
| Аргумент | Тригонометрические функции | ||||||
| в градусах | в радианах | sinj | cosj | tgj | ctgj | secj | cosecj |
| 0˚ | 0 | 0 | 1 | 0 | не существует | 1 | не существует |
| 30˚ | p/6 | 12 | Ö3/2 » 0,8660 | Ö3/3 » 0,5774 | Ö3 » 1,7322 | 2Ö3/3 » 1,1547 | 2 |
| 45˚ | p/4 | Ö2/2 » 0,7071 | Ö2/2 » 0,7071 | 1 | 1 | Ö2 » 1,4142 | Ö2 » 1,4142 |
| 60˚ | p/3 | Ö3/2 » 0,8660 | 12 | Ö3 » 1,7322 | Ö3/3 » 0,5774 | 2 | 2Ö3/3 » 1,1547 |
| 90˚ | p/2 | 1 | 0 | не существует | 0 | не существует | 1 |
Для больших значений аргумента можно пользоваться так называемыми формулами приведения, которые позволяют выразить Т. ф. любого аргумента через
Т. ф. аргумента j, удовлетворяющего соотношению 0 £ j £ или даже 0 £ j £ , что упрощает составление таблиц Т. ф. и пользование ими, а также построение графиков. Эти формулы имеют вид:
в первых трёх формулах n может быть любым целым числом, причём верхний знак соответствует значению n = 2k, а нижний — значению n = 2k + 1; в последних — n может быть только нечётным числом, причём верхний знак берётся при n = 4k + 1, а нижний при n = 4k — 1.
Важнейшими тригонометрическими формулами являются формулы сложения, выражающие Т. ф. суммы или разности значений аргумента через Т. ф. этих значений:
знаки в левой и правой частях всех формул согласованы, то есть верхнему (нижнему) знаку слева соответствует верхний (нижний) знак справа. Из них, в частности, получаются формулы для Т. ф. кратных аргументов, например:
Часто бывают полезны формулы, выражающие степени sin и cos простого аргумента через sin и cos кратного, например:
Формулы для cos2j и sin2j можно использовать для нахождения значений Т. ф. половинного аргумента:
Знак перед корнем выбирается в зависимости от величины .
Суммы или разности Т. ф. различных аргументов могут быть преобразованы в произведения по следующим формулам:
в первой и последней формулах (4) знаки согласованы. Наоборот, произведения Т. ф. могут быть преобразованы в сумму или разность по формулам:
Производные всех Т. ф. выражаются через Т. ф.:
При интегрировании Т. ф. получаются Т. ф. или их логарифмы:
Интегралы от рациональных комбинаций Т. ф. всегда являются элементарными функциями.
Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sinx и cosx представляются рядами, сходящимися для всех значений х:
Эти ряды можно использовать для получения приближённых выражений sin x и cos x при малых значениях х:
а)
Тригонометрическая система 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ¼, cosnx, sinnx, ¼, образует на отрезке [—p, p] ортогональную систему функций, что даёт возможность представления функций в виде тригонометрических рядов (см. Фурье ряд).
Для комплексных значений аргумента значения Т. ф. могут быть определены посредством степенных рядов. Т. ф. комплексного аргумента связаны с показательной функцией формулой Эйлера:
Отсюда можно получить выражения для sin x и cos x через показательные функции чисто мнимого аргумента (которые также называют формулами Эйлера):
Эти формулы также могут быть использованы для определения значений cosz и sinz для комплексного z. Для чисто мнимых значений z = ix (х — действительное) получаем:
