На доске с четным числом клеток второй игрок выигрывает, делая ходы, симметричные ходам своего противника. Для «обращенной» игры ничего похожего не известно, хотя, как нетрудно показать, на доске размером 3x3 первый игрок выигрывает, взяв либо центральную, либо угловую фишку, либо весь центральный ряд или столбец.

Остроумную идею, лежащую в основе игры в так-тикс, — использование пересекающихся рядов фишек — Хейн применил и ко многим другим двумерным и трехмерным игровым полям. В тикс можно, например, играть на треугольной или шестиугольной доске или же ставить фишки в вершины и в точки пересечения сторон пяти- и шестиугольных звезд. Можно использовать точки пересечения замкнутых кривых; в этом случае фишки, стоящие на одной кривой, следует считать принадлежащими к одному «ряду».

Построение фишек в форме квадрата сочетает в себе простоту конфигурации с максимально сложной стратегией.

Даже элементарный квадрат 4x4 поддается анализу с большим трудом, а при увеличении числа клеток сложность игры быстро возрастает.

На первый взгляд кажется, что на поле 4x4 второй игрок обязательно выигрывает, если он все время играет симметрично и меняет эту стратегию только при последнем ходе. Увы, во многих ситуациях симметричная игра не годится. Рассмотрим, например, следующую типичную партию, когда второй игрок избирает симметричную стратегию.

В этом примере первый ход второго игрока оказывается для него роковым. После ответного хода противника второй игрок уже никак не может выиграть, даже если все его последующие ходы не будут симметричными.

Игра так-тикс значительно сложнее, чем это кажется на первый взгляд. До сих пор не известно, кто выигрывает даже на доске 4х4, с которой сняты угловые фишки. В качестве упражнения попробуйте решить две задачи (предложенные Хейном), которые изображены на рис. 86.

Рис. 86 Две задачи из игры в так-тикс.

На каждой доске нужно найти ход, обеспечивающий победу. Может быть, какой-нибудь прилежный читатель сможет ответить и на более сложный вопрос: кто из игроков всегда может выиграть на доске 4x4 — первый или второй?

* * *

С. Чепмен прислал мне остроумную схему портативной машины для игры в ним. Она весит 35 унций, ее главный узел состоит из трех многослойных вращающихся переключателей, с помощью которых можно одновременно включать три ряда из четырех возможных. В каждом ряду располагается до десяти фишек. Начиная игру, машина всегда одерживает победу. Доказать это можно очень изящно. Запишем число фишек в каждом ряду в двоичной системе так, как делали это в начале главы. Ясно, что в каждом ряду 1 должна стоять либо в столбце с 8, либо в столбце с 4, но не в том и другом столбце одновременно. (Нули не могут стоять в обоих столбцах, ибо тогда число фишек в ряду было бы меньше четырех; единицы также не могут стоять в том и другом столбце одновременно, ибо тогда число фишек было бы больше десяти.) Три единицы (по одной в каждом ряду) можно разместить лишь двумя способами: 1) все три единицы в одном столбце; 2) две единицы в одном столбце и одна в другом. И в первом и во втором случае сумма цифр в каждом столбце нечетна, поэтому начальная позиция опасна, и машина, открывая игру, заведомо выигрывает.

Многие читатели прислали подробный анализ игры на доске 4x4. Простой стратегии найти не удалось никому, но теперь уже нет никаких сомнений в том, что второй игрок всегда может выиграть как на этой доске, так и на доске 4 х 4 с заранее снятыми угловыми фишками. Было высказано предположение, что на любой квадратной или прямоугольной доске, имеющей хотя бы одну нечетную сторону, начинающий игру одерживает победу, если он снимает первым ходом весь средний ряд, а на досках с четными сторонами всегда выигрывает второй игрок. Однако эти предположения до сих пор не доказаны.

Сейчас положение вещей таково: для «так-тикстов», овладевших игрой 4x4, лучше всего начать играть на доске 6 х 6. Она достаточно мала для того, чтобы игра не слишком затягивалась, и все-таки достаточно велика, чтобы игра была захватывающей и результат ее нельзя было предсказать.

Ответы

В первой задаче можно было выиграть несколькими разными способами: например, взяв фишки с полей 9-10-11-12 или 4-8-12-16.

Для второй задачи выигрыш приносит взятие фишек, стоящих на клетках 9 или 10.

Недавнее «яркое и удивительное открытие» (по выражению Роберта Оппенгеймера) существования правой и левой «ручности»[27] у фундаментальных частиц несет с собой много новых идей. Имеют ли все частицы во Вселенной одинаковую «ручность»? Будет ли когда-нибудь восстановлена «двуручность» природы, если обнаружатся галактики, состоящие из антивещества — вещества, сделанного из частиц, которые «ведут себя наоборот», как говорила Алиса об отражениях предметов в зеркале?

Мы в нашей повседневной жизни настолько привыкли к зеркальным отражениям, что уверены, будто прекрасно их понимаем.

Многих озадачит вопрос: «Почему зеркало меняет местами правое 8 левое, но не переворачивает верх и низ?» Вопрос еще более запутывается существованием очень простых в изготовлении зеркал, которые вовсе не переворачивают правое и левое.

[История, очень похожая на историю с зеркалом, неожиданно произошла в совсем другой области — в лунной картографии. В Давние времена Луну рисовали так: север помещали вверху, а юг соответственно внизу. Восточной называли левую часть карты, а западной — правую; это прямо противоположно тому, что принято называть востоком и западом на земных картах. Причина такой Путаницы кроется в том, что мы смотрим на Луну, стоя спиной к Полярной звезде, отсюда естественным было назвать востоком ту часть Луны, которая обращена к востоку. У Луны восток и запад Поменялись местами, как в зеркале.

Позже (и сейчас) в астрономических трубах исчезли переворачивающие линзы — астрономов не беспокоило, что простым глазом мы видим одно изображение, а в трубе — перевернутое. (На астрономических снимках серп, смотрящий вправо, соответствует растущей Луне, а серп, смотрящий влево, — убывающей. Земля и Луна вращаются вокруг своих осей в одну и ту же сторону.) В атласах стали помещать Луну так, что юг оказывался наверху, а восток справа. Так что теперь на картах верх и низ поменялись местами!

Дальше события развивались так. В 50-х годах астрономы забеспокоились. Им показалось, что космонавту, попавшему на Луну, будет непривычно видеть Солнце восходящим на западе и заходящим на востоке (хотя каждое такое событие происходит только раз в месяц). В 1961 году Международный астрономический союз переименовал восток Луны в запад, а запад Луны — в восток. Это все равно, что назвать правую руку при зеркальном изображении левой!

На всякий случай отметим, что в соответствии с современной терминологией Море дождей находится в северо-западной части Луны (до 1951 года оно было в северо-восточной!).]

И Платон в своих «Диалогах», и Лукреций в трактате «О природе вещей» описывают зеркало, сделанное из слегка изогнутого полированного металлического прямоугольника, которое изображено на рис. 87 в центре.

Рис. 87 Обычное зеркало и отражение в нем (слева) и два зеркала, дающие необращенные изображения (в центре и справа).

Взглянув в это зеркало, вы увидите себя таким, каким вас видят окружающие. Машинописный текст, отраженный в таком зеркале, читается обычным образом, без всяких трудностей.