Еще проще сделать зеркало, которое не меняет местами правое и левое, из двух зеркал без рамок, поставленных под прямым углом друг к другу, как показано на рис. 87. Что будет с вашим отражением, если это зеркало повернуть на 90°? Изображение перевернется вверх ногами (ранее описанное зеркало обладает этим же свойством).

Симметричной называется такая структура, которая не меняется при отражении в зеркале. Она может быть наложена точка в точку на своего зеркального двойника, а асимметричная — не может. Два вида асимметричных предметов обычно различают, называя их «правыми» и «левыми». Хотя оба вида различаются между собой, вам не удастся никакими опытами обнаружить ни у одного из них такого свойства, которого не было бы у другого. Это глубоко озадачило Канта. «Что может сильнее походить на мою руку, — писал он, — чем ее отражение в зеркале? И тем не менее я не могу совместить ту руку, которую я вижу в зеркале, со своей рукой».

Эта удивительная двойственность присуща структурам любого числа измерений, в том числе и того, которое больше трех. Например, отрезок прямой симметричен в одном направлении, но отрезок, составленный из длинного и короткого отрезков, асимметричен. Отражая его в зеркале, мы увидим, что длинный и короткий отрезки поменялись местами. Обращаясь к словам, как к символам, ориентированным в одном направлении, мы увидим, что в большинстве своем они симметричны, однако существуют слова-полиндромы типа «радар», «заказ», читающиеся одинаково в обоих направлениях.

Существуют даже полиндромные предложения:[28]

Draw pupil's lip upward! — Подтяни вверх губу ученика!

A man, a plan, a canal — Panama! — Человек, план, канал — Панама!

Egad! A base tone denotes a bad age. — Ей-богу! Низкий голос указывает на пожилой возраст.

«Мадам, Адам!» — первые слова Адама (вероятно, Ева ответила на них: «Угу!»).

Поэты нередко используют полиндромные звуковые эффекты.

Хороший тому пример — известные лирические стихи Роберта Браунинга «Ночная встреча». Каждая строка в них написана по схеме abccba, чтобы передать в стихах шум набегающих морских волн.

Мелодии также можно рассматривать как звуки, упорядоченные во времени. В пятнадцатом веке было модно сочинять полиндромные каноны,[29] в которых побочная тема лишь повторяла с конца к началу главную тему. Многие композиторы (в том числе Гайдн, Бах, Бетховен, Хиндемит и Шёнберг) использовали отражение мелодий для создания контрапунктных эффектов, но, как правило, перевернутые мелодии режут слух.

С помощью магнитофона можно провести много забавных экспериментов по музыкальному отражению. Фортепьянная музыка, проигранная в обратном направлении, воспринимается как органная, потому что каждая нота звучит сначала чуть слышно и лишь потом достигает полного звучания. Совершенно потрясающего эффекта можно достичь, если проигрывать пленку в обратном направлении в помещении с хорошей реверберацией и записывать музыку на второй магнитофон. Тогда, перевернув вторую запись, мы услышим первоначальную мелодию, но каждому звуку будет предшествовать эхо.

Музыкальное отражение можно получить и другим способом.

Для этого надо повернуть пианиста на 180°, то есть так, чтобы он играл слева направо, но высокие и низкие ноты на клавиатуре поменялись бы местами. Отраженная музыка получилась бы и в том случае, если бы пианист играл как обычно, но на инструменте, отраженном в зеркале. Мелодия стала бы неузнаваемой, кроме того, возник бы неожиданный эффект замены мажорного лада минорным, и наоборот. Этот прием также использовали в канонах композиторы эпохи Возрождения и в контрапункте — композиторы, жившие позднее. Классическим примером может служить «Искусство фуги» И. С. Баха, где двенадцатая и тринадцатая фуги допускают обращение именно второго типа. Моцарт однажды написал канон, в котором побочной темой служила главная тема, читаемая с конца. Это произведение два музыканта могли бы исполнять по одним и тем же нотам, только один из них читал бы их слева направо, а другой — справа налево.

Обращаясь к двумерным структурам, мы видим, что, например, христианский крест симметричен, а древний китайский религиозный символ (рис. 88) — несимметричен.

Рис. 88 Китайская монада инь — ян.

Его темные и светлые участки называются инь и ян. Они символизируют все фундаментальные противоположности, в том числе правое и левое. Их комбинаторные аналоги — четные и нечетные числа.

Асимметрия китайского символа делает менее удивительным тот факт, что два именно китайских физика (фамилия одного из них к тому же была Ян!) получили в 1957 году Нобелевскую премию за теоретическую работу, которая привела к открытию несохранения четности. В отличие от музыки все асимметричные рисунки и изображения можно без ущерба для эстетической ценности произведения отражать в зеркале. Рембрандт однажды сделал гравюру с зеркального отражения своего знаменитого «Снятия с креста».

Высказывалось предположение, что распространенная на Западе привычка читать слева направо будет оказывать некоторое влияние на восприятие отраженного изображения. Если даже это и так, то, во всяком случае, влияние привычки читать слева направо сказывалось крайне незначительно.

Большинство слов, даже набранных типографским шрифтом, несимметрично, и поэтому обычно прочесть отраженное в зеркале слово невозможно, однако не всегда. Если вы посмотрите на зеркальное отражение слов «QUALITY CHOICE», напечатанных на боковой поверхности пачки американских сигарет «Кэмел», держа пачку параллельно полу так, чтобы ее верхний конец смотрел вправо, то увидите неожиданное зрелище: слово «QUALITY» станет совершенно неудобочитаемым, а слово «CHOICE» останется без малейшего изменения.[30] Причина кроется в том, что написанное прописными буквами слово «CHOICE» имеет горизонтальную ось симметрии, потому его можно наложить на зеркальное отражение, перевернув вверх ногами. Другие слова, например «ТОМАТ», «НАТАША», асимметричны в горизонтальной записи, но, написанные по вертикали, приобретают ось симметрии.

Рассматривая привычные трехмерные структуры, мы видим, что в них изящно сочетаются симметричные и асимметричные элементы. Большинство живых организмов с виду симметричны, исключение составляют спиральные раковины, клешни краба-скрипача, клюв у клеста и глаза плоских рыб, расположенные на одной стороне головы. Даже поведение может быть асимметричным; например, стаи летучих мышей, живущих в пещерах Карло-Карловых Вар, кружат по спирали против часовой стрелки. Предметы, сделанные руками человека, обычно выглядят симметричными, но при ближайшем рассмотрении некоторые из них все-таки оказываются несимметричными, например ножницы, лист Мёбиуса, гексафлексагоны и простые замкнутые узлы. Два узла на рис. 89 имеют одинаковую топологическую структуру, но не могут переходить друг в друга. Игральная кость также имеет две различные формы. Сумма очков на противоположных гранях должна быть равна семи, но существует два способа разметки граней; получающиеся кости являются зеркальным отражением друг друга.

Рис. 89 Левые и правые листы Мёбиуса (вверху), узлы (в середине) и игральные кости (внизу).

Скрещивая руки на груди, вы завязываете их узлом, причем это можно сделать двумя разными способами. Однако мы настолько привыкаем к одному способу, что бывает очень трудно сложить руки наоборот. Скрестите руки как обычно, возьмитесь за концы веревки и разъедините руки. Теперь узел, которым были завязаны руки, перешел на веревку. Повторите свое движение, сложив руки наоборот, — вы получите узел, являющийся зеркальным отражением первого. Существует одна интересная (и до сих пор не решенная) топологическая задача: доказать, что непрерывной деформацией замкнутой кривой зеркальные узлы нельзя перевести друг в друга.