Евклиду принадлежат такие фундаментальные исследования, как "Оптика" и "Диоптрика". В своей оптике Евклид исходил из пифагорейской теории, согласно которой лучи света - прямые линии, простирающиеся от глаза к воспринимаемому предмету.
Главный труд Евклида - "Начала" (или "Элементы", в оригинале "Стойхейа"). "Начала" Евклида со-1Стоят из 13 книг. Позднее к ним были прибавлены еще две книги.
Первые шесть книг посвящены геометрии на плоскости - планиметрии. В философско-теоретическом отношении, в плане философии математики особенно интересна первая книга, которая начинается с определений, постулатов и аксиом, учение о которых было заложено Аристотелем.
Евклид определяет точку как то, что не имеет частей. Линия - длина без ширины. Концы линии - точки. Прямая линия равно расположена по отношению к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Концы поверхности - линии. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней. И так далее. Таковы определения Евклида.
Далее следуют постулаты, т. е. то, что допускается. Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из любой точки, принятой за центр, можно всяким раствором циркуля описать круг, что все прямые углы равны между собой и что если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, будучи продолженными, эти две прямые рано или поздно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Аксиомы говорят о том, что величины, равные третьей величине, равны между собой, что если к равным прибавить равные, то и целые будут равными, и т. д.
Далее, в первой же книге, рассматриваются треугольники, параллельные линии, параллелограммы. Вторая книга "Начал" содержит геометрическую алгебру: числа и отношения чисел выражаются в пространственных величинах и в их пространственных же отношениях. Третья книга "Начал" исследует геометрию круга и окружности, четвертая - многоугольники. Пятая книга дает теорию пропорций как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. Книга VI - приложение этих теорий в планиметрии. Книги VII-X содержат теорию чисел, причем X книга трактует иррациональные линии. XI, XII и XIII книги "Начал" посвящены стереометрии, при этом в XII книге применяется метод исчерпания.
Евклида нельзя считать "отцом геометрии". Мы уже говорили, что свои "Начала" были у Гиппократа Хиосского в V в. до н. э. В IV в. до н. э. "Начала" были у Леона, и у Феудия Магнесийского. Метод исчерпания применял Евдокс Книдский, возможный учитель Евклида по Академии. Проблемой иррациональности занимались пифагореец Гиппас Метапонтский, Феодор Киренский, Теэтет Афинский... Однако Евклид-не простой передатчик сделанного до него математиками. В "Началах" Евклида мы видим завершение математики как стройной науки, исходящей из определений, постулатов и аксиом и построенной дедуктивно. Математика Евклида - вершина древнегреческой дедуктивной науки. Она резко отличается от ближневосточной математики с ее практической приблизительной рецептурностью. Не случайно "Начала" Евклида по их логической стройности, ясности, изяществу и законченности сравнивают с афинским Парфеноном.
Правда, существовала легенда, что сам Евклид - не единственный автор дошедших до нас "Начал", что он сам дал лишь догматическое изложение материала, без доказательств, что доказательства были добавлены вышеупомянутым Теоном Александрийским. Теон Александрийский действительно занимался проблематикой "Начал". Но не он один. Этим же занимались и Прокл, и Симплиций. "Начала" Евклида были частично переведены на латинский язык Цензорином и Боэцием. Но эти их переводы затерялись. На Западе вплоть до конца ХII в. находились в обращении тезисы Евклида без доказательств.
Что касается Ближнего Востока, то там Евклид был известен в переводах с греческого на сирийский, а с сирийского - на арабский. Первым арабским философом, который заинтересовался Евклидом, был, по-видимому, аль-Кинди (IX в.). Его интерес ограничивался евклидовой "Оптикой". Однако затем последовала масса переводов и комментариев на "Начала". Эти арабские тексты были переведены в XIII в. на латинский язык. |Первый латинский перевод с греческого оригинала был делан в Европе в 1493 г. и отпечатан в 1505 г. в Венеда. Но до 1572 г., когда Федерико Коммандино в своем атинском переводе исправил эту ошибку, Евклида-математика путали с Евклидом Мегариком.
Из постулатов Евклида видно, что Евклид представлял пространство как пустое, безграничное, изотропное и трехмерное. Бесконечность и безграничность пространства предполагается такими постулатами Евклида, как тезисы о том, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из всякого центра и всяким раствором циркуля может быть описан круг.
Особенно знаменит пятый постулат Евклида, который буквально звучит так (выше мы дали пересказ): "Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых". Позднее Прокл выразил этот постулат так: "Если прямая пересекает одну из двух параллельных линий, то она пересечет также и вторую параллельную". Более привычная для нас формула: "Через данную точку можно провести лишь одну параллельную к данной прямой" - принадлежит Джону Плейферу.
Не раз делались попытки доказать пятый постулат Евклида (Птолемей, Насир аль-Дин, Ламберт, Ле-жандр). Наконец, Карл Гаусс высказал в 1816 г. гипотезу, что этот постулат может быть заменен другим. Эта догадка была реализована в параллельных исследованиях независимо друг от друга Н. И. Лобачевским (1792-1856) и Яношем Больяем (1802-1866). Однако оба эти исследователя (и русский, и венгерский) не получили признания других математиков, особенно тех, кто стоял на позициях кантовского априоризма в понимании пространства, который допускал только одно пространство - евклидово. Только Бернхард Риман (1826-1866) своей теорией многообразий (1854) доказал возможность существования многих видов неевклидовой геометрии. Сам Б. Риман заменил пятый постулат Евклида на постулат, согласно которому вообще нет параллельных линий, а внутренние углы треугольника больше двух прямых. Феликс Клейн (1849-1925) показал соотношение неевклидовых и евклидовой геометрий. Евклидова геометрия относится к поверхностям с нулевой кривизной, геометрия Лобачевского - к поверхностям с положительной кривизной, а геометрия Римана - к поверхности с отрицательной кривизной.
Аполлоний. Одним из учеников Евклида был другой великий математик эллинизма-Аполлоний (262- 190 гг. до н. э.). Как и Евклид, он работал в Александрии. Аполлоний дал теорию сечений конуса, связав воедино окружность, эллипс, параболу и гиперболу.
Архимед Сиракузский. К александрийской науке примыкал математик, физик и инженер Архимед из Сиракуз. Сиракузы, основанные Коринфом в 734 г. до и. э. - один из главных городов Великой Греции. Сиракузы были антагонистом Карфагена, основанного финикийцами из города Тира восьмьюдесятью годами ранее. Этот антагонизм породил в Сиракузах тираническую форму правления с 485 г. до утраты ими суверенитета 8 212 г. до н. э. Установив свою диктатуру, Гелон нанес поражение карфагенянам на острове Сицилия в тот же год, что и греки персам при Саламине. Брат и преемник Гелона Гиерон I расширил границы сиракузской империи и сделал Сиракузы одним из ведущих центров эллинской культуры. При его дворе подвизались Пиндар и Эсхилл. Однако "золотой век" Сиракуз был непродолжителен, и он закончился со смертью Гиерона I в 467 г. до н. э. Во время Пелопонесской войны авантюристическая военная экспедиция Афин против Сиракуз потерпела позорный провал. Второй расцвет Сиракуз связан с именем сиракузского тирана Дионисия Старшего, при дворе которого в 389 г. до н. э. оказался сам Платон. В конце III в. до н. э., в ходе войны Рима с Ганнибалом, когда Великая Греция, покоренная к этому времени Римом, перешла на сторону Ганнибала, отпавшие от Рима Сиракузы были после длительной осады взяты Римом. Во время взятия Сиракуз Архимед был убит.