(схема 8)

Здесь Х – поле, подлежащее восстановлению, Y – восстановленное поле примерно той же величины, М – количество мер зерна, идущее на восстановление поля.

Однако восстановление полей с помощью зерна не всегда было возможным или удобным: часто необходимо было восстановить поле, не засеивая его, засеивать можно было по-разному, получив больше или меньше площади, и т. д. Эмпирический материал подсказывает, что был изобретен новый способ восстановления полей: теперь для восстановления прямоугольного поля Y, равного по величине полю Х, подсчитывали количество оставленных плугом в поле гряд С (их толщина была стандартной), а также длину одной их гряд С'. В языке древних народов «гряда» – это не только название части поля, но и мера площади.

(схема 9)

Введение эталонной гряды, подсчет количества гряд и их длины тоже не разрешали всех затруднений, поскольку в древнем земледелии постоянно приходилось решать задачи на сравнение по величине двух и более полей. Предположим, имеются два поля, которые надо сравнить. В первом поле 25 гряд и каждая гряда имеет протяженность 30 шагов, а в другом – 50 гряд протяженностью в 20 шагов. Спрашивается, какое поле больше и на сколько? Сделать это, сравнивая числа, невозможно: у первого поля бо́льшая протяженность гряды, но, с другой стороны, меньше гряд. Однако поля можно сравнить по величине, если у них или одинаковое количество гряд или одинаковая протяженность (длина) гряды. Именно к этой ситуации старались прийти древние писцы и землемеры. Заметив, сравнивая урожаи полей, что величина поля не изменится, если длину гряды (количество гряд) увеличить в n раз, и соответственно количество гряд (длину гряды) уменьшить в n раз, они стали преобразовывать поля, но не реально, а в плоскости замещающих их знаков (чисел). Например, чтобы решить приведенную здесь задачу, нужно количество гряд в первом поле увеличить в два раза (25×2=50), а длину гряды, соответственно, уменьшить в два раза (30:2=15). Так как в Древнем мире обычно сравнивали большое количество полей разной величины (например, в Древнем Вавилоне сразу сравнивали несколько сотен полей), то постепенно сложилась практика приведения длины гряды к самой маленькой длине полей и, в конце концов, к единице длины (один шаг, локоть). Соответственно, чтобы не изменилась величина поля, количество гряд умножали на длину полей. Например, для полей, величина которых выражается числами – 10,40, 5,25, 15,20, 2,30, получалась следующая таблица:

или после соответствующих арифметических операций:

Поскольку слева всегда получается число 1, то величина поля выражается только числами и операциями в правом столбце, т. е. произведением длины гряды на количество гряд. Естественно предположить, что этот факт рано или поздно был осознан древними писцами, они стали опускать числа 1 левого столбца и построили принципиально новый способ вычислений: сначала измеряли количество гряд и длину средней гряды (у прямоугольного поля – это любая гряда, у трапециидального и треугольного – среднее арифметическое самой большой и самой маленькой длины), а затем вычисляли величину поля, перемножив полученные числа (14; 15; 44). Но если бы, например, шумерскому писцу, впервые нашедшему формулу вычисления площади прямого поля, сказали, что он что-то там сочинил или придумал, он бы все это отверг как кощунство и неверие в богов. Выводя данную формулу, он считал, что всего лишь описывает, как нечто было устроено богом, что сам бог в обмен на его усердие и богопочитание открывает ему знание этого устройства.

Рассмотренный здесь этап как действия со знаками можно записать так:

(схема 10)

Здесь ♠ – описанные выше операции преобразования с числами, вплоть до конечной – умножения числа С на С'.

Второй пример относится к реконструкции способов решения шумеро-вавилонских задач.

Реконструируя способы решения вавилонских задач, историки математики оказываются перед лицом парадоксов. С их точки зрения, шумеро-вавилонские математики решали задачи, которые сегодня проходят по ведомству алгебры, геометрии или теоретической арифметики, именно на основе соответствующих математических дисциплин, в то время как последние сложились спустя два-три тысячелетия. Этот парадокс не случаен. Дело в том, что речь в данном случае идет не столько о математике, сколько о математическом мышлении, а мышление, как известно, изучается прежде всего в логике, психологии, теории культуры. Наделяя вавилонских математиков современным стилем и характером мышления, историки математики нарушают, к примеру, некоторые основные принципы исторического рассмотрения культур, принципы исторического анализа человеческого сознания, мышления и поведения. Согласно этим принципам, шумеро-вавилонская культура самобытна и не похожа на современную, языки, сложившиеся в этой культуре (и математические в том числе), принципиально отличны от современных, мышление и поведение представителей шумеро-вавилонской культуры своеобразны и определяются всем строем данной культуры и ее историей.

Спустимся теперь с абстрактных высот этих принципов на землю и посмотрим – «методом проникновения» в чужую культуру, – как же мог вавилонский математик, он же, как известно, старший писец и распорядитель хозяйственных работ, он же часто и учитель, решать математические задачи.

Для примера мы возьмем следующую типичную задачу.

Условие задачи: два поля А гар (гар – мера площади). Одно поле превышает (больше второго) на В гар. Узнай каждое поле.

Решение: А и В разбей (раздели) пополам. Получишь a и b. Сложи a и b, первое поле видишь (т. е. величина первого поля равна сумме a и b). Из a вычти b, второе поле (величина второго поля равна разности a и b).

Теперь отправимся в прошлое. Итак, однажды в Древнем Шумере или Вавилоне к вавилонскому писцу, учителю и математику, пришли люди и, поклонившись, говорят: «Ты искусный и мудрый писец, имя твое славится, помоги нам поскорей. Два поля земли было у нас, одно превышало другое на 20 гар, об этом свидетельствует младший писец, бравший с нас налог, остальное он забыл. Прошлой ночью разлив реки смыл межевые камни и уничтожил границу между полями. Сосчитай же скорей, каковы наши поля, ведь общая их площадь известна – 60 гар».

Выслушав людей, писец стал размышлять. Таких задач он никогда не решал. Он умел измерять поля, вычислять площади полей, если даны их элементы (ширина, длина, линия раздела), умел делить поля на части, соединять несколько полей между собой и даже узнавать сторону квадратного поля, если была известна его площадь. Он имел дело с тысячами таких задач, обучал в школе их решению и так хорошо знал свое дело, что перед его глазами как живые стоят глиняные таблички с решениями задач, чертежами полей и числами, проставленными на этих чертежах. Такие таблички он, старший писец и учитель, составляет каждое утро и дает переписывать своим ученикам. Но среди табличек нет такой, которая бы помогла ему сейчас. Писец хотел было уже отослать людей, как вдруг вспомнил о задачах, которые он задал на табличках в прошлую неделю. Эти задачи были похожи на то, о чем ему говорили пришедшие люди. Перед глазами писца возникли чертежи с числами и решения.