Первая задача. Поле в 60 гар (как раз такое по величине, которое возникло после разлива) разделили пополам. Узнай каждое поле.

Решение. 60:2=30

Вторая задача. Поле 30 гар и другое 30 гар. От первого поля отрезали участок, равный 5 гар, и прибавили его к другому полю. Узнай получившиеся поля.

Решение. 30–5=25 30+5=35

Третья задача. Два поля 35 гар и 25 гар. На сколько одно поле выступает над другим.

Решение. 35–25=10

Четвертая задача. Два поля 35 гар и 25 гар соединили. Узнай получившееся поле.

Решение. 35+25=60

Писец вспомнил, что, решая сам эти задачи, он удивился, почему разница между полями – 10 гар – оказалась в два раза больше величины отрезанного от одного поля участка. И только посмотрев на чертеж, он понял, что эта разница суть удвоенный участок (от одного поля он отрезан, это 5 гар, а к другому прирезан, еще 5 гар, вместе же как раз 10 гар). Как похожи эти задачи на то, что произошло у людей, стоявших перед ним. Правда, разница между полями не 10 гар, а 20, но ведь это неважно, все равно эта разница в два раза больше величины добавленного участка. И тут писца осенило. Мысленно воздал он почести великой лунной богине Иштар, подавшей ему знак, что делать: нужно разделить 60 гар пополам (как в той задаче, где поля были равные), а затем отнять от одного полученного при делении поля участок, равный половине 20 гар, и прирезать его к другому полю. И писец стал записывать решение первой в истории Вавилона задачи нового типа, не прибегая ни к алгебре, ни к геометрии, ни к методу ложного предположения.

Безусловно, эта история выдумана с начала до конца, и, конечно, это очередная реконструкция, но обратите внимание на ее достоинства. Я не ссылался на возможности современной математики и все, что предположил, можно документально подтвердить и обосновать. Все перечисленные мной задачи действительно решались на определенном этапе развития вавилонской математики, решались тысячами, тиражировались тысячами тысяч в школах писцов, причем в самых разнообразных последовательностях и сочетаниях. Среди таких последовательно решенных (как правило, в учебных целях) задач при огромном потоке решений вполне могли встречаться и такие подборки задач, которые обеспечивали построение решений новых задач. Чертежи с числами и алгоритмы решения учебных задач (случайно, а в дальнейшем специально подобранные) облегчали отождествление уже решенных задач с условиями новых. В работе (61) я показал, что подобным же способом были построены таблицы пифагорейских троек (чисел 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 и т. д., для которых была справедлива теорема Пифагора) и решен ряд других задач.

Предложенная реконструкция заставляет пересмотреть многие представления о характере шумеро-вавилонской математики. Во-первых, получается, что вавилонские математики пользовались вполне естественным (если иметь в виду уровень развития их практики) языком, который образовывали простейшие алгоритмы вычисления полей и поясняющие их чертежи с числами. Во-вторых, никаких уравнений они не знали и тем более не знали способов их преобразования. В-третьих, создавая решения задач, вавилонские математики не проводили логических умозаключений; все, что от них требовалось в плане мышления, – сравнить между собой условие новой задачи с решениями специально или случайно подобранных задач. Конечно, это сравнение не было простым, оно включало в себя, с одной стороны, сравнение чертежей полей, с другой – сравнение чисел, фиксирующих размеры полей или их элементов. Кроме того, необходимо было путем вычислений связывать те или иные элементы полей или величины их площадей (например, деля одну величину на другую, выяснять, что одно поле в два раза больше другого). Однако все эти мыслительные действия ничего общего не имеют как с геометрическими или алгебраическими преобразованиями уравнений, так и с логическими умозаключениями.

В данном параграфе фигурирует выражение «семиотическое производство». Что здесь имеется в виду? В своих работах я обращал внимание на то, что атрибутивные и эмпирические знания, получавшиеся в древнем семиотическом производстве, фиксирующие характеристики определенных объектов (полей, хозяйственных сооружений, траекторий движения звезд и планет по небу и т. п.), а также связи между ними, заданные операциями со знаками (числами или величинами), проверялись на соответствие действительности только на основе практики, носившей сугубо хозяйственный или сакральный характер. Другими словами, закреплялись только те знаки и знания, которые отвечали хозяйственной или сакральной практике, обеспечивая решение возникавших в ней задач (например, позволяя подсчитывать и суммировать большие совокупности, восстанавливать поля той же площади, определять время появления первых звезд, планет и затмений; к небесным явлениям, т. е. богам, как правило, приурочивались хозяйственные работы, вообще встречи с богами для совместной деятельности). Другой важной особенностью является безличный и сакральный характер знаний: они понимались как мудрость, считались принадлежащими богам, которые лишь поделились с жрецами этими знаниями.

Добавление. И все-таки, как я показываю, связи между вавилонской математикой и геометрией (алгеброй), безусловно, существуют. Дело в том, что греческая геометрия и элементы диофантовой алгебры возникли не на пустом месте, а в ходе реконструкции греческими математиками вавилонских (и возможно, древнеегипетских) задач и способов их решения. Да, именно реконструкция решений вавилонских задач – один из путей, ведущих к построению как геометрии, так и алгебры.

С семиотической точки зрения проблемой является не объяснение операций с числами и чертежами – они вполне укладываются в схемы действий со знаками-моделями и знаками-символами, – а сравнение и отождествление чертежей полей с числами между собой. Дело в том, что эти операции предполагают ви́дение чертежа с числами С-М-С` (здесь М – чертеж поля, С – числа, а черточки – связи чисел с соответствующими элементами чертежа), не только как выражающего определенное содержание (в данном случае, поле Х определенной величины), и не просто, как объекта оперирования, но и как самостоятельного предмета – «плана» поля. Именно на плане поля древний писец различает форму поля, его элементы – стороны, площадь, а также величины этих элементов, заданные числами. Сравнение и совмещение планов полей и является необходимым условием формирования рассмотренных здесь способов решения задач. Однако в рамках деятельностного подхода, которого я придерживался в 60-х годах, семиотически истолковать природу планов полей, впрочем, так же как и других самостоятельных предметов, мне не удавалось.

Объекты, подобные планам полей, У. Эко классифицирует как иконические знаки. Анализ природы таких знаков приводит его к мысли, что иконические знаки подобны не объектам, которые такие знаки представляют, а «структурам восприятия» этих объектов; другой вывод – что иконические знаки связаны со «слабыми кодами», т. е. вариативными и субъективно обусловленными системами значений. «Иконическая синтагма, – пишет он, – зависит от столь сложных контекстуальных отношений, что в ней трудно отделить смыслоразличительные признаки от факультативных вариантов… мы сталкиваемся с вереницей идеолектов (идеолектом Эко называет семиотическую модель произведения искусства. – В. Р.), одни более общепринятые, другие очень редки; в них факультативные варианты безусловно доминируют над смыслоразличителями, в которых они обретают статус смыслоразличительных признаков, а последние превращаются в факультативные варианты в зависимости от того, какой код избирает рисовальщик, не стесняющийся разрушать прежний код и на его обломках выстраивать новый. В этом смысле иконические коды, если они вправду есть, являются слабыми кодами» (100, с. 137, 138). Характерна фраза – «если они вправду есть», поскольку код, характеризующий иконический знак, приобретает в описании Эко столь странные свойства, что это уже как бы и не код. Код все-таки – это система определенных константных значений, а слабый код задает меняющиеся ансамбли непрерывно изменяющихся значений. Впрочем, возникает еще одно сомнение. Эко при анализе иконического знака использует материал современного искусства, но не авангардного. Если бы он взял другой материал, например, художественное искусство древних народов (египтян, вавилонян, индусов, китайцев, народов майя и др.) или же реалистическую живопись XVII–XVIII вв., то в этом случае ему пришлось бы признать за иконическими знаками искусства как раз сильные коды, поскольку это искусство создавалось и прочитывалось на основе константной системы значений (смотри наше исследование (см.: 68)).