Использование аналогичных отношений в гармонии и музыке привело пифагорейцев к выводу, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел, а арифметика нужна для того, чтобы сформулировать отношения и построить модель мира.

В частности, пифагореец Архит писал: «Арифметика, по [моему] мнению, среди прочих наук весьма выделяется совершенством знания; да и геометрии [она совершеннее, так как] она яснее, чем геометрия, рассматривает любой [предмет]».

Пифагорейцы рассматривали только целые положительные числа и полагали число собранием единиц. Единицы были неделимы и располагались в виде правильных геометрических тел. Пифагорейцам характерно определение «фигурных чисел» («треугольных», «квадратных» и других). Изучая свойства чисел, греки разбили их на чётные и нечётные (как признак делимости на два), простые и составные.

Известно, что у пифагорейцев существовало учение о рациональных числах, или отношениях отрезков, но само оно не сохранилось. Вместе с тем им принадлежит доказательство несоизмеримости диагонали и стороны единичного квадрата. Данное открытие означало, что отношений целых чисел недостаточно для выражения отношений любых отрезков и что на этом основании невозможно строить метрическую геометрию.

Аттическая система счисления — непозиционная система счисления, применявшаяся в древней Греции до III века до н. э.

Ионийская — непозиционная система счисления. Алфавитная запись чисел, пришедшая на смену аттической, в которой в качестве символов для счёта, употребляют буквы классического греческого алфавита.

Рафаэль Санти. Афинская школа.

В Греции также умели оперировать дробями вида m/n, складывать и вычитать их, приводя к общему знаменателю, умножать и делить, а также сокращать. В теоретических построениях греки исходили из неделимости единицы и говорили не о долях единицы, а об отношении целых чисел. Для этих отношений было определено понятие пропорциональности, которое разбивало все отношения на непересекающиеся классы.

После завоеваний Александра Македонского центр греческой науки сместился в Александрию. Основополагающим трудом того времени являются «Начала» Евклида, состоящие из тринадцати книг. Книга V посвящена теории отношений Евдокса, книга VI — связи отношений с операцией умножения отрезков, или построению параллелограммов, книги VII–IX — теории целых и рациональных чисел, также рассматриваемых как отрезки, книга X — классификации иррациональностей по Теэтету.

В работе Архимеда «Псаммит» был разработан метод для выражения сколь угодно больших чисел. Он показал, что число песчинок в сфере, диаметр которой менее чем в 10000 раз превосходит диаметр Земли, не превышает 10⁶³, иными словами является конечным.

В дальнейшем древнегреческая арифметика. как и математика в целом, пришла в упадок. Новые знания появляются только в I–II веках н. э. В III веке Диофант начал построение алгебры с опорой не на геометрию, а на арифметику. Диофант также расширил числовую область на отрицательные числа.

Наиболее древними из дошедших до нас математических сочинений Китая являются «Трактат об измерительном шесте» (по астрономии) и «Математика в девяти книгах» (книга для землемеров, инженеров, чиновников и торговцев) — II век н. э.

В основе китайской нумерации лежит мультипликативный принцип: разряды записываются сверху вниз или слева направо, при этом за числом тысяч идёт знак тысячи, далее за числом сотен — знак сотни, за числом десятков — знак десятка — и в конце число единиц.

Арифметические операции сложения и вычитания, производимые на счётной доске, не требовали дополнительных таблиц, для умножения же существовала таблица от 1x1 до 9x9. Действия умножения и деления производились начиная со старших разрядов, при этом промежуточные результаты удалялись с доски, что делало проверку невозможной.

Поначалу умножение и деление были независимыми операциями, но затем Сунь-Цзы отметил их взаимную обратность. Практически одновременно с целыми числами появились и дроби, причём уже ко II веку до н. э. операции с дробями были хорошо разработаны. Для сложения и вычитания использовалось произведение знаменателей, умножение определялось геометрически как площадь прямоугольника, деление же было связано с задачей о дележе, при этом число участников дележа могло быть дробным.

В V веке н. э. Чжан Цю-цзянь заменил деление на дробь умножением на перевёрнутую. В III веке н. э. в Китае появляются десятичные дроби, с помощью которых давалось приближённое значение иррациональных величин.

Китайцам того времени были известны и отрицательные числа. Их они на доске выделяли палочками другого цвета, а на письме другими чернилами или косой чертой. Кроме того, отрицательные числа имели особое название. Для них были сформулированы правила выполнения операций вычитания и сложения, причём вычитание было определено в первую очередь.

Поначалу отрицательные числа использовались только в процессе счёта и к концу вычислений удалялись с доски, затем китайские учёные стали толковать их как долг или недостачу.

Китайские (вверху) и японские счёты.

Считается, что позиционная система счисления (десять цифр, включая ноль) была введена в Индии, хотя её зачатки прослеживаются и ранее. Она позволила разработать сравнительно простые правила выполнения арифметических операций.

Учёные полагают, что в Индии позиционная система впервые появилась не позже начала нашей эры. Однако в связи с тем, что индийцы использовали хрупкие материалы для письма, документальных памятников этого периода не сохранилось.

Для целых чисел в Индии использовалась десятичная система. Сначала это были цифры в письме кхароштхи, которые писались справа налево, а затем в письме брахми, которые писались слева направо.

Оба варианта использовали аддитивный принцип для чисел до 100 и мультипликативный — далее. Однако в брахми использовались специальные знаки для чисел от 1 до 9. На основе этой системы были разработаны современные цифры письма деванагари (или «божественного письма»), которые стали применяться в десятичной позиционной системе.

К 595 году относится первая запись числа, в которой применяются девять цифр, нуля ещё не было. Для удобства вычислений Ариабхата предложил записывать цифры знаками санскритского письма. В 662 году христианский епископ Сирии Север Себохт писал: «Я не стану касаться науки индийцев…их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счёт производится с помощью девяти знаков».

Основными арифметическими действиями в Индии считались сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб, извлечение квадратных и кубических корней, для которых были разработаны правила. Вычисления проводились на счётной доске с песком или пылью или просто на земле и записывались палочкой. Промежуточные выкладки стирались, что приводило к невозможности проверки с помощью обратной операции, вместо чего использовалась проверка с помощью девятки.

Индийцы знали дроби и умели совершать операции над ними, пропорции, прогрессии. Уже с VII века н. э. они пользовались отрицательными числами, интерпретируя их как долг, а также иррациональными числами. Они занимались суммированием числовых рядов, в частности, примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются в «Ведах», а в XVI веке Нараяна Пандит произвёл более общие суммирования Индийские математики Ариабхата, Брахмагупта и Бхаскара решали простые и даже квадратные уравнения, что было наивысшим достижением индийских математиков в области теории чисел.