В силу ограниченных эксплуатационных возможностей печатающих устройств вычислительных машин мы не будем пользоваться ни подстрочными, ни надстрочными индексами.

6. 3. Обозначение времени в уравнениях

Следует договориться об обозначении времени, чтобы можно было установить тот момент, к которому относятся количественные значения величин в уравнениях. В литературе, посвященной данным вопросам, время часто обозначается небольшими подстрочными индексами. Так как это не совсем согласуется с возможностями пишущей машинки и вовсе не соответствует возможностям печатающих устройств многих вычислительных машин, то для обозначения времени мы будем пользоваться одной или двумя прописными буквами, следующими за обозначением переменной и отделенными от него точкой.

Так, в предыдущих примерах уровень работающих в момент времени J будет EPLTA.J, а в момент К — EPLTA.K. Следует отметить, что для обозначения времени используется одна буква, поскольку значения уровней определяются только для фиксированных моментов времени — соответственно J или К. Уровни (и вспомогательные переменные, которые будут рассмотрены ниже) будут иметь обозначение времени одной буквой.

Темпы, напротив, будут отмечаться двумя буквами. Например, темп выпуска готовой продукции, имеющий место в интервале времени от J до К, обозначается MOF.JK, а темп, который будет иметь место в течение последующего интервала, обозначается MOF.KL^[32].

Константы не будут иметь обозначения времени, так как они не изменяются от одного интервала времени к другому. Постоянное запаздывание, связанное с доставкой товаров в розничную торговую сеть, может быть обозначено DSR.

6. 4. Классы уравнений

Уравнения уровней и темпов уже рассматривались при описании основных свойств используемой ниже структуры динамической модели.

Были перечислены и другие типы уравнений, которыми удобно пользоваться, но которые не вносят в модель новых динамических характеристик. Это вспомогательные и дополнительные уравнения и уравнения начальных условий. Рассмотрим форму этих уравнений.

Уравнения уровней. Уровни представляют собой переменное по величине содержимое резервуаров в системе. Как уже отмечалось, они существовали бы и в том случае, если бы система была приведена в состояние покоя и все потоки в ней остановились бы. Значения уровней определяются заново для каждого из последующих интервалов решений; предполагается, что между моментами времени, для которых решаются уравнения, уровни изменяются с постоянной скоростью, но их значения в этом промежутке времени не вычисляются.

Вот пример типичного уравнения уровня:

6–1, L

Символы обозначают следующие переменные:

IAR — фактический запас товаров в розничной торговой сети (единицы), где слово «фактический» употребляется в отличие от «требуемый» и других понятий о запасе товаров;

DT — приращение времени (недели), интервал времени между решениями системы уравнений;

SRR — поставки товаров в розничную торговую сеть (единицы в неделю);

SSR — продажа товаров в розничной торговой сети (единицы в неделю)^[33].

Обозначение «6–1, L» справа указывает, что данное уравнение является первым в главе 6 (всем уравнениям присвоен цифровой шифр) и что оно описывает уровень («L»)^[34].

Уравнение устанавливает прямую количественную зависимость, согласно которой запас товаров 1AR в момент времени К будет равен предыдущему значению IAR.J плюс произведение разности между темпами входящего потока SRR.JK и исходящего потока SSR.JK на продолжительность интервала времени DT, в течение которого существуют эти темпы. Короче говоря, то, что есть в торговой сети, равно тому, что в ней было, плюс то, что поступило, и минус то, что было из нее отдано^[35].

Следует заметить, что все члены уравнения имеют размерность «единицы» товаров. В скобках правой части уравнения «единицы» получаются при умножении времени, выраженного в долях недели, на темпы потока в единицах в неделю.

Темпы потока всегда измеряются числом единиц за какой-либо интервал времени, такой, как день, неделя или месяц, но не в периодах, кратных интервалу решений DT; единицы времени для темпов и интервала DT должны быть одними и теми же, например недели или месяцы. Уравнение сохраняет силу и не зависит от интервала решений DT, пока интервал не превышает максимальной величины, которая будет рассмотрена ниже. При изменении интервала решений не требуется вносить изменения в формулировку уравнения или в какие-либо входящие в него константы. Вводя интервал DT непосредственно в уравнение мы можем использовать в модели те же общепринятые единицы измерения времени, что и в реальной системе.

Сравнения уровней не зависят одно от другого; решение каждого из них зависит только от информации, касающейся предшествующего момента времени. Поэтому порядок решения уравнений уровней не имеет никакого значения. При решении какого-либо уравнения уровня в момент времени К не используется никакой информации из других уравнений уровней, решаемых для того же момента времени. Уровень в момент К зависит от его предыдущего значения в момент У и от темпов потока в течение интервала

Переменные, относимые к классу уровней, могут иметь такие единицы измерения, как «единицы в неделю», так что поначалу может показаться, что мы имеем дело с темпами. Тогда следует применить испытание системы приведением ее в состояние покоя, как это было сделано в разделе 5.1, где мы установили, что средние темпы представляют собой по существу уровни, а не темпы.

Уравнения темпов (функции решений). Уравнения темпов определяют темпы потоков между уровнями в системе. Уравнения темпов являются «функциями решений», что будет подробно рассмотрено ниже, в главе 9.

Уравнение темпа решается на основе данных о существующих в настоящее время величинах уровней в системе, которые часто включают в себя уровень, из которого исходит поток с данным темпом, и тот уровень, к которому он направлен. В свою очередь темпы потоков являются причиной изменений в уровнях. Уравнения темпов могут по типу решений относиться к «явным» или «неявным»^[36]. Какая-либо разница в структуре самих уравнений при этом отсутствует.

В отношении уравнений темпов важно отметить, что они регулируют действия, которые должны произойти в системе за следующий интервал времени. В момент времени К уравнение темпа решается, чтобы определить то действие, которое будет управлять темпом потока в течение предстоящего интервала времени KL. В принципе уравнения темпов зависят только от значений уровней в момент времени К^[37]. (На практике темпы, относящиеся к последнему, только что закончившемуся интервалу времени JK, могут иногда с достаточной степенью точности использоваться вместо уровня, характеризующего средний темп, в том случае, когда усреднение производится для очень короткого интервала времени.)

Уравнения темпов, как и уравнения уровней, на протяжении каждого интервала времени решаются независимо одно от другого. Взаимодействие в системе происходит при последующем воздействии темпов на уровни, которые затем в свою очередь оказывают влияние на темпы в более поздние интервалы времени. Уравнение темпа определяет действие, которое будет совершаться непосредственно в следующий момент. Если момент действия существенно близок (то есть продолжительность интервала решений DT существенно мала), то очевидно, что решение не может испытывать на себе влияния других решений, принимаемых в тот же момент времени в других частях системы^[38]. Поэтому уравнения темпов независимы друг от друга и могут решаться в любой последовательности. Поскольку они зависят от значений уровней, вся группа уравнений темпов решается после того, как решены уравнения уровней.