Примером уравнения темпа может служить уравнение запаздывания исходящего потока, имеющее вид показательной функции первого порядка. Объяснение уравнения будет дано в главе 8, здесь же мы рассмотрим лишь его форму:

6.2, R

где

OUT — темп исходящего потока (единицы в неделю);

STORE — количество, находящееся в настоящее время в запаздывании (единицы);

DELAY — константа, средняя продолжительность времени, необходимого для преодоления запаздывания (недели).

Это второе наше уравнение представляет собой уравнение темпа, о чем свидетельствует буква «R» в его шифре. Уравнение определяет величину темпа «OUT» и показывает, какое значение он будет иметь на протяжении следующего интервала времени KL. Темп должен быть равен величине уровня «STORE» в настоящий момент К, деленной на константу, названную «DELAY» (без какого-либо обозначения времени, поскольку это константа). Ко времени решения уравнения количественные значения для STORE и DELAY должны быть, конечно, известными.

Вспомогательные уравнения. Уравнение темпа может нередко стать очень сложным, если его действительно формулировать лишь на основе одних уровней, как это утверждалось до сих пор. К тому же темп может быть часто лучше определен, если пользоваться одним или несколькими понятиями, имеющими самостоятельный смысл и характеризуемыми в свою очередь уровнями системы. Часто бывает удобно разбить уравнение темпа на отдельные части, которые мы будем называть вспомогательными уравнениями. Вспомогательное уравнение оказывает большую помощь при решении задачи приведения модели в полное соответствие с действительной системой, так как с его помощью можно определить в отдельности многие факторы, принимаемые в расчет при выработке решения.

Вспомогательные уравнения являются промежуточными; они могут быть подставлены одно в другое (если имеется несколько «слоев» вспомогательных уравнений) и далее — в уравнения темпов^[39]. Путем алгебраической подстановки вспомогательные переменные могут быть исключены из уравнений, что достигается ценой увеличения сложности уравнений темпов и потери в то же время простоты и ясности значения отдельных уравнений модели.

Вспомогательные уравнения решаются на момент времени К после решения уравнений уровней, поскольку для решения вспомогательных уравнений, как и для решения уравнений темпов, часть которых они собой представляют, используются данные о значениях уровней в тот же момент времени. Они должны быть решены прежде уравнений темпов, поскольку получаемые при этом результаты необходимы для подстановки в уравнения темпов.

В отличие от уравнений темпов и уровней вспомогательные уравнения нельзя решать в произвольной последовательности, так как одни вспомогательные уравнения могут быть составными частями других, а два или более вспомогательных уравнений могут образовывать «цепочку», которая должна решаться в определенном порядке таким образом, чтобы решение одного уравнения могло быть использовано при решении последующих. Если формулировка уравнений правильна, то должна существовать возможность такой последовательной подстановки. Система вспомогательных уравнений не должна быть замкнутой; это указывало бы на недопустимую и ненужную формулировку уравнений.

Ниже показана цепь из двух вспомогательных уравнений между двумя уровнями и уравнением темпа:

6-3, A

где RSR — уровень, a AIR — константа,

6–4, А

где IAR — уровень, a DHR и DUR — константы,

6-5, R

где UOR — уровень.

Следует заметить, что в уравнении 6–3, А (индекс «A» применяется в шифре вспомогательных уравнений) уровень RSR в момент времени К используется в качестве ввода для вспомогательной переменной IDR в момент времени К-Выражения AIR, DHR и DUR — константы. В тот же момент времени К, IDR является вместе с другим уровнем вводом для вспомогательной переменной DFR. В свою очередь DFR используется вместе с другим уровнем в уравнении темпа 6–5,R для определения темпа SSR.

Отметим, что уравнение 6–3 может быть подставлено в уравнение 6–4 и далее в уравнение 6–5; тогда получим:

6-6, R

Таким образом, могут быть исключены вспомогательные уравнения, а темп выражен только через уровни и константы.

В главе 13 уравнения 6–3, 6–4 и 6–5 рассматриваются применительно к обстановке на промышленном предприятии. Каждое из этих вспомогательных уравнений определяет имеющую самостоятельный смысл переменную, важную для отражения системы. Наши представления о системе были бы безнадежно затемнены, если бы мы действительно производили подстановку, выполненную в уравнении 6–6.

Вспомогательная переменная в принципе зависит только от уже известных уровней и от других вспомогательных переменных, значения которых могут быть вычислены до того, как они понадобятся. Как отмечалось в отношении уравнений темпов, значения темпов, относящиеся к предшествующему интервалу времени JK, могут быть иногда использованы во вспомогательных уравнениях; хотя это, строго говоря, неверно, однако при определенных условиях такой метод может дать достаточно хорошее приближение к средним значениям, получаемым для коротких интервалов времени.

Дополнительные уравнения. Дополнительные уравнения применяются при определении переменных, не являющихся частью структуры модели, но используемых при печати и графическом изображении величин, представляющих интерес для понимания поведения модели. Мы можем пожелать собрать информацию (например, о сумме запасов в целой системе), которая не используется в процессе выработки какого-либо решения в модели. Обозначение «S» указывает на дополнительное уравнение.

Уравнения начальных условий. Уравнения начальных условий используются для определения исходных значений всех уровней (и некоторых темпов), которое должно быть произведено до начала первого цикла решения уравнений. Они также используются в начальный момент времени для вычисления значений одних констант, исходя из значений других. Уравнения начальных условий решаются только один раз перед началом каждого проигрывания модели. Обозначение «N» указывает на уравнение начальных условий.

6. 5. Интервал решений

Интервал решений должен быть достаточно коротким, чтобы его величина не влияла сколько-нибудь серьезно на результаты вычислений. Его следует выбирать по возможности максимально большим с тем, чтобы не допускать увеличения загрузки вычислительной машины там, где это не вызвано необходимостью.

Основное требование ограничения продолжительности интервала вытекает из характера построения системы уравнений. Уровни определяют темпы, а темпы определяют уровни, но система уравнений является «открытой»; под этим подразумевается, что каналы обратной связи остаются в течение интервала решений DT закрытыми. Поэтому интервал должен быть достаточно коротким, чтобы изменения в уровнях между моментами решений не привели к недопустимой дискретности темпов.

В большинстве наших систем допустимый интервал между вычислениями будет определяться запаздываниями, имеющими форму показательной функции (см. главу 8). Как мы увидим, интервал обязательно должен быть меньше продолжительности любого запаздывания первого порядка; желательно, чтобы он был меньше его половины. Поскольку запаздывания третьего порядка наиболее употребительны и поскольку они эквивалентны трем последовательным запаздываниям первого порядка, каждое из которых составляет одну треть запаздывания третьего порядка, интервал решений должен быть меньше одной шестой общей продолжительности самого короткого запаздывания третьего порядка в рассматриваемой системе.